Анализ ошибок при использовании метода прогноза и коррекции

Анализ ошибок удобно провести в несколько приёмов – для ошибки приближения прогноза (30) и коррекции (31).

Для определения ошибки ограничения прогноза (30) разложим y(x) в окрестности точки x=x_m в ряд Тейлора.

y(x) = y_m + y_m' (x-x_m) + ^ym''/₂ (x-x_m)² + ¹/₆ (x-x_m)³ y'''()

где  лежит между x и x_m. Полагая x=x_m+1, получаем

y_m+1 = y_m + hy_m' + h^{2 ym''}/₂ + ¹/_{6 h}³ y'''(₁); x_m < ₁ < x_m+1

Аналогично для x=x_m–1, получаем

y_m–1 = y_m – hy_m' + h^{2 ym''}/₂ – ¹/_{6 h}³ y'''(₁); x_m–1 < ₂ < x_m

Если вычесть одно из другого и заметить, что y'''(₁) + y'''(₂) = y'''(), где x_m–1 <  < x_m+1, то y_m+1 = y_m–1 + 2 h y_m' + ¹/₃ h³ y'''().

Ошибка приближения таким образом равна

ET^(k) = ¹/₃ h³ y'''(); x_m–1 <  < x_m+1 (36)

Коррекция является обобщением формулы трапеций. Ошибка приближения формулы трапеций

ET^(k) = – ¹/₁₂ h³ y'''(); x_m–1 <  < x_m+1 (37)

Таким образом здесь ошибка тоже пропорциональна h³. Тот факт, что ошибки имеют одинаковый порядок, позволяет предложить простой метод оценки y''', а, следовательно, и ET^k.

Пусть Y_m – точное решение при x=x_m, тогда

Y_m = y_m⁽⁰⁾ + ¹/₃ h³ y'''() и

Y_m = y_m⁽ⁱ⁾ – ¹/₁₂ h³ y'''(),

где y_m⁽⁰⁾ и y_m⁽ⁱ⁾ вычислены по (30) и (31).

Вычитая эти равенства одно из другого, получаем

O = y_m⁽ⁱ⁾ – y_m⁽⁰⁾ – ¹/₁₂ h³ [y'''() + 4y'''()].

Если предположить, что y''' практически постоянна на интервале x_m–1 < x < x_m+1, то

⁵/₁₂ h³ y''' = y_m⁽ⁱ⁾ – y_m⁽⁰⁾ и ET^(k) = – ¹/₁₂ h³ y''' = ¹/₅ [ y_m⁽⁰⁾ – y_m⁽ⁱ⁾] (38)

Таким образом метод прогноза и коррекции даёт в качестве побочного продукта вычислений легко определяемую оценку ошибки приближения.

Рассмотрим вопрос выбора величины шага h. К сожалению, не существует формул для выбора шага интегрирования до начала решения задачи, за исключением (34), но, как правило, пользоваться ею неудобно. Может быть весьма трудно оценить величину M, а если к тому же она сильно меняется на интервале...