Лекция №2

Экстраполяционный переход к пределу

Чтобы найти более точное значение  , сравнительно можно воспользоваться

простым усовершенствованием метода трапеций. Для шага h ( по формуле 14 )

ошибка ограничения составляет : e_{T =} ch² ,

ba

где c =   y⁴ (); a<<b .

12

Если вторую производную от y считать постоянной, то c также является const .

Предположим теперь, что выбрана некоторая другая величина слога разбиения

причём mn.

Тогда e_{T =} ck² .

Теперь пусть I_h  значение  , вычисленного по правилу трапеций с шагом

h , а I_k - значение  , вычисленного по правилу трапеций с шагом k .

При этом :

I = I_h + ch² ( 16 )

I = I_k + ck²

Если вычесть эти два уравнения друг из друга , то можно определить c :

I_h  I_k

c =  ( 17 )

k²  h²

Подставляя это значение c в ( 16 ) , получаем

I_h  I_k

I = I_h + 

k² ( 18 )

  1

h²

Вычисленное таким образом значение интеграла I является лучшим прибли-

жением , чем I_h или I_k. Если же вторая производная y_k(x) действительно

постоянна при a  x  b , то ошибка ограничения в формуле ( 18 ) равна нулю.

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу.

Правило Симпсона.

В этом методе , как и в предыдущем производится разбиение общего интер-

вала интегрирования на множество более мелких отрезков ; однако для вычис-

ления площади под каждым из них через три последовательных ординаты про-

водится квадратичная парабола. В результате формула Симпсона даёт точное

значение интеграла при интегрировании многочленов до 3-го порядка включи-

тельно.

Количество отрезков n в случае правила трапеций определялось формулой :

b a

n =  .

h

Предположим теперь , что число n является чётным и что :

k = 2h . ( 19 )

Тогда

I_h = ^h/₂  (y₀ + 2y₁ + 2y₂ + . . . + 2y_n-1 + y_n ) ( 20 )

I_k = h  (y₀ + 2y₂ + . . . + 2y_n-1 + y_n ) ( 21 )

Уравнения ( 19 ) , ( 20 ) , ( 21 ) можно подставить в ( 18 ) .

При этом получим :

I_h  I_k

I = I_h +  =

k²

  1

h²

= h  ( ¹/₂y₀ + y₁ + y₂ + . . . + y_n-2 + ¹/₂y_n ) +

+ h  ( ¹/₆y₀ + ¹/₃y₁ + ¹/₃y₂ + . . . + ¹/₃y_n-2 + ¹/₃y_n-1 + ¹/₆y_n ) -

 h  ( ¹/₃y₀ + ²/₃ y₂ + . . . + ²/₃y_n-2 + ¹/₃y_n ) =

= h ( ¹/₃y₀ + ⁴/₃y₁ + ²/₃y₂ + . . . + ²/₃y_n-2 + ⁴/₃y_n-1 + ¹/₃y_n ).

И окончательно :

I = ^h/₃  ( y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + 2y₄ + . . . + 2y_n-2 + 4y_n-1 + y_n ) ( 22 )

Формула ( 22 ) называется формулой Симпсона.

Ошибка ограничения при интегрировании с помощью формулы Симпсона

может быть вычислена аналогично методу трапеций.

Окончательный результат :

h⁴ _

e^T     ( b  a ) f (  ) , a    b .

180

Ошибка пропорциональна h⁴  метод Симпсона соответствует ряду Тейлора

с точностью до членов третьего порядка включительно. ( метод трапеций соответ-

ствует этому ряду только с точностью до членов первого порядка ).