Лекция №1 Численное интегрирование

Задачи, в которых требуется вычисление интегралов, возникают почти во всех областях прикладной математики.

Во многих случаях, однако, не удаётся найти никакой аналитической формулы или она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с её помощью труднее, чем другими способами. В таких ситуациях приходится применять различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей, и позволяют вычислить эту сумму с достаточной то­чностью.

Пусть требуется вычислить определённый интеграл:

a

I =  f(x) dx (1)

b

при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией x во всём интер­вале a < x < b.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определённый интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b.

Мы будем пытаться вычислить интеграл I, разбивая интервал то a до b на мно­жество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски, полу­чившейся при таком разбиении, и суммируя площади этих полосок.

При этом рассмотрим два способа разбиения исходного интервала на меньшие.

1. Разбиение на интервалы производится заранее, обычно интервалы выби­раются равными. Причём интервалы выбираются так, чтобы значения x, соответ­ствующие концу каждого интервала, было возможно легче вычислять. (Правило тра­пеций и метод парабол (Симпсона)).

2. Местоположение и длина интервалов определяются путём анализа; сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются их границы. (Метод Гаусса).

Правило трапеций.

Рассмотрим интеграл (1), который представляет собой заштрихованную пло­щадь на рис.1.

Y

y=f(x)

Рис.1.

X

a b

Разобьём интервалы интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n. Рас­смотрим теперь один из этих интервалов, как изображено на рис.2., где масштаб по оси Ox сильно увеличен.

Y

y=f(x) C

B

E

y_i+1=f(x_i+1)

y_i=f(x_i)

h

A D

X

x_i x_i+1

Рис.2.

Площадь, лежащая под кривой y=f(x) между x_i и x_i+1 равна

x_i+1

I= f(x) dx.

x_i

Если h достаточно велико, то эту площадь без большой ошибки можно приров­нять к площади трапеции ABCD, при этом площадь прямоугольника ABED=y_ih, а пло­щадь треугольника BEC=¹/₂*(y_i+1-y_i)h, так что

I_i  ¹/₂ * h(y_i+y_i+1) (2)

То поскольку

b c b

 f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx,

a a c

получаем

n-1

I =  I_i , (3)

i=0

где x₀=a, x_n=b.

Теперь, подставляя (2) в (3), получаем

I  ¹/₂ * h(y₀ + 2y₁ +  + 2y_n-1 + y_n) (4)

Формула (4) описывает хорошо известное правило трапеции для численного интегрирования, согласно которому, приближённое значение интеграла (1) получается в виде суммы площадей n трапеций. Ошибки ограничения этого метода больше, нежели для большинства других методов, но его привлекательность обусловлена простотой.

Ошибки ограничения для метода трапеций.

Ошибка использования формулы (4) равна сумме площадей между y=f(x) и хор­дами, соединяющими y_i и y_i+1. Оценим эту ошибку, разлагая y=f(x) в ряд Тейлора в то­чках x_i и x_i+1. Это разложение позволит получить уравнение исходной кривой в виде, удобном для сравнения точного значения интеграла с приближённым, вычисленным по формуле (4).

Разложим y=f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x=x_i. Предположим, что f(x) имеет столько непрерывных производных, сколько надо:

y = y_i + (x - x_i)y_i + ¹/₂*(x - x_i)²y_i +  (5)

Аналогично разлагаем f(x) в окрестности x_i+1 :

y = y_i+1 + (x - x_i - h)y_i+1 + ¹/₂*(x - x_i - h)²y_i+1 +  (6)

Возьмём среднее из формул (5) и (6):

y = ¹/₂*(y_i + y_i+1) + ¹/₂*(x - x_i)(y_i+1 + y_i) - ¹/₂*hy_i+1 +

+ ¹/₄*(x - x_i)²(y_i+1 + y_i) - ¹/₂*(x - x_i)hy_i+1 + ¹/₄*h²y_i+1 + 

Интегрируя y dx от x_i до x_i+1, получаем:

x_i+1

 y dx = ¹/₂*h(y_i+1 + y_i) - ¹/₄*h²(y_i+1 - y_i) + ¹/₁₂*h³(y_i+1 + y_i) +  (7)

x_i

(7) представляет собой оценку истинного значения интеграла. Правило трапеций полу­чается, если в (7) отбросить все члены, содержащие h в степенях выше первой.

Поэтому оценка ошибки равна:

ET_i = - ¹/₄*h²(y_i+1 - y_i) + ¹/₁₂*h³(y_i+1 + y_i) +  (8)

Для малых h первый член гораздо больше всех остальных, поэтому можно пред­положить, что:

ET_i  kh²(y_i+1 - y_i) (9)

Попытаемся определить константу k. Формула (7) справедлива для любой функции. Самой простой функцией была бы y=x, но в этом случае ошибка ограничения равна 0.

Рассмотрим y=x².

В этом случае:

x_i+1

I_i =  x² dx = x_ih + x_ih² + ¹/₃*h³ (10)

x_i

Но из (7) и (8) и подстановки y_i=x_i² и y_i+1=(x_i+h)² следует:

I_i = x_i²h + x_ih² + ¹/₂*h³ + ET_i (11)

Из (10) и (11) следует:

ET_i = - ¹/₆*h³,

но так как y=2x, то из (9) имеем:

ET_i = 2kh²(x_i + h - x_i) = 2kh³_­, поэтому для k получаем: k = - ¹/₁₂.

И окончательно:

ET_i  - ¹/₁₂*h²(y_i+1 - y_i) (12)

Полную ошибку ограничения можно оценить из соотношения:

n-1

eT =  ET_i = - ¹/₁₂*h²(y_b - y_a) (13)

i=0

(13) даёт только оценку ошибки, но не её верхнюю границу.