2. Относительные и абсолютные ошибки

О тносительные и абсолютные ошибки определяются следующим образом. Абсолютная ошибка есть разность между истинным значением величины (считая это истинное значение известным) и ее приближенным значением. Обычно приближенное значение некоторой величины, или прибли­жение, обозначается тем же символом, что и точное значение, только сверху этого символа ставится черта; ошибка же обозначается буквой с с символом приближаемой величины вместо индекса. Таким образом, если точное значение равно х, то мы должны написать

З десь e_x есть абсолютная ошибка, определяемая как разность между точным значением и приближением:

Относительная ошибка определяется, как отношение абсолютной ошибки к приближению. Казалось бы, что более естественно определить ее, как отношение абсолютной ошибки к точному значению, но обычно точное значение нам неизвестно. Все, что обычно бывает известно,— это приближенное значение величины и оценка ошибки или границы максимально возможной величины ошибки. Если ошибка мала, то разница в определениях не скажется на численной величине относительной ошибки.

Для величин, близких по значению к единице, абсолют­ная и относительная ошибки почти одинаковы. Для очень больших или для очень малых величин относительная и аб­солютная ошибки представляются совершенно разными числами. Так, если точное значение некоторой величины равно 0.00006, а приближенное значение равно 0.00005, то абсолютная ошибка составляет всего 10^-5, в то время как относительная ошибка составляет 0.2, или 20%. С дру­гой стороны, если точное значение равно 100 500, а при­ближенное значение равно 100 000, то абсолютная ошибка составляет 500, хотя относительная ошибка составляет всего 0.005, или 0.5%.

Необходимо всегда указывать, какая ошибка имеется в виду — абсолютная или относительная, — если это не яс­но из условий задачи или из контекста.

2.3. Ошибки, содержащиеся в исходной информации

В процессе численного решения некоторой задачи при­ходится иметь дело с тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащимися в исходной информации, ошиб­ками, возникающими при ограничении бесконечного мате­матического процесса конечным числом операций (ошибки ограничения), и ошибками, возникающими в результате необходимости представлять число в виде конечной после­довательности цифр (ошибки округления). Каждую из этих ошибок можно представить в абсолютной и относительной форме.

Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений, грубых просмотров или из-за невоз­можности представить необходимую величину конечной дробью.

Всякое физическое измерение, будь то измерение рас­стояния, напряжения или интервала времени, не может быть выполнено абсолютно точно. Если, например, указано, что величина напряжения составляет 6.4837569 в, то можно с уверенностью сказать, что по меньшей мере несколько младших значащих цифр недостоверны, потому что невоз­можно измерить напряжение с такой точностью. Если же экспериментальный результат содержит небольшое коли­чество значащих цифр (например, промежуток времени в 2.3 сек), то можно быть абсолютно уверенным в том, что эта величина дана с некоторой ошибкой, так как лишь случайно величина интервала времени может составить в точности 2.3 сек. В таких случаях подразумеваются неко­торые границы, внутри которых эта величина должна находиться, что-либо вроде 2.3 ± 0.1 сек.

Иногда подразумевается, что если для эксперименталь­ного результата не указаны его возможные границы, то результат имеет точность половины единицы младшего разряда. Поэтому если дано, что некая длина равна 5.63 см, то это следует понимать так, что эта длина не меньше 5.625 и не больше 5.635 см. Однако это правило не всегда соблюдается; поэтому, когда границы точности результата важны, их следует указать в явном виде, например 5.63 ± 0.005 см.

Независимо от количества значащих цифр в какой-либо величине, в ней может содержаться порой какая-нибудь грубая ошибка. Грубые ошибки могут возникнуть от опечаток, от ошибочного отсчета показаний прибора, хотя встречаются иногда и такие ошибки, возникновение которых связано с некорректной постановкой задачи или с неполным пониманием некоторых физических законов.

Многие числа нельзя представить точно ограниченным числом значащих цифр. Если в вычислениях используется число л, то оно может быть представлено в виде 3.14, или 3.14159265, или 3.141592653589793, в зависимости от того, какая точность требуется в данном вычислении. В любом случае, однако, невозможно представить  точно, так как  является иррациональным числом и не может быть пред­ставлено конечным числом знаков. Даже обыкновенные дроби очень часто нельзя представить с помощью конечного числа десятичных знаков, как 1/3, которую можно пред­ставить только в виде периодической дроби.

Часто случается также, что дроби, которые являются конечными в одной системе счисления, становятся беско­нечными в другой системе счисления. Например, дробь 1/10 явно имеет конечное десятичное представление 0.1, но, будучи переведена в двоичную систему счисления, становится бесконечной дробью 0.000110011001100.... Вычисляя сумму десяти чисел, каждое из которых будет представлять собой двоичное приближение к десятичной 0.1, мы в сумме не получим точно 1. Известно, что начинаю­щие программисты иногда приходят в замешательство, сталкиваясь впервые с такими «чудесами». Трудность эта неизбежна, но легко преодолима, как мы убедимся ниже на некоторых практических примерах.