8.5. Влияние погрешностей коэффициентов. Достижимая точность решения

Зададимся вопросом: если aij и ci являются экспери­ментальными данными или вычисленными величинами, то каково будет влияние погрешностей этих величин на решение системы уравнений?

Чтобы получить ответ на этот важный вопрос, мы вос­пользуемся тем же методом, что и в гл. 5. Пусть истинные значения коэффициентов равны aij +wij и ci + bi, при­чем wij и bi, малы по сравнению с aij и ci. Иначе говоря, мы хотим в действительности получить решение системы

(a11+w11)x1+ ... +(a1n+w1n)xn=b1+c1

................................................................

(ai1+wi1)x1+ ... +(ain+win)xn=bi+ci (8.28)

..............................................................

(an1+wn1)x1+ ... +(ann+wnn)xn=bn+cn

Конечно, если бы мы точно знали значения wij и bi, то мы просто решили бы уравнения (8.28) вместо исходных. Однако обычно мы знаем только верхнюю границу воз­можной величины wij и bi. Например, если aij и ci явля­ются экспериментальными данными, известными с точ­ностью до g знаков после запятой, то

IwijI<=0.5*10^-g; IbI<=0.5*10^-g .

Предположим, что x1, x2, x3, ...,xn—решение исход­ной системы (8.13), и обозначим через

xi+ái

решение системы (8.28). Предположим также, что

16i1 <=IxiI, i=l, 2,..., n.

Подставляя xi + 6i в (8.28) и используя равенства (8.13), находим, что

(a1161+...+a1n6n) +(w11x1+...+w1nxn) = b1,

.......................................................................

(ai161+...+ain6n) +(wi1x1+...+winxn) = bi,

.......................................................................

(an161+...+ann6n) +(wn1x1+...+wnnxn) = bn,

где мы пренебрегаем произведениями wij на 6i, из-за их малости. Теперь бi, можно получить из системы уравнений

(a1161+...+a1n6n) = b1 - (w11x1+...+w1nxn)

.......................................................................

(ai161+...+ain6n) = bi - (wi1x1+...+winxn) (8.29)

.......................................................................

(an161+...+ann6n) = bn - (wn1x1+...+wnnxn)

Рассмотрим четыре возможных случая:

1. Все aij известны точно, а все ci заданы с точ­ностью g знаков после запятой, т. е.

wij= 0,

IbiI<=0.5*10^-d .

Тогда из (8.29) следует

a11611 +...+a1n61n<=0.5*10^-d

.....................................................

ai1611 +...+ain61n<=0.5*10^-d (8.30)

.....................................................

ai1611 +...+ain61n<=0.5*10^-d

Эти неравенства можно решить (ниже мы покажем как это делается).«Решение» неравенств производится одновременно с решением исходных уравнений (8.13), и в результате получается прямая оценка влияния погрешности правых частей уравнений результата.

Заметим сначала, что если набор значений A;(i= 1, 2, . . ., n) удовлетворяет неравенствам (8.30), где все правые части равны +1, то

можно написать

6i=(0.5*10^-g)di , i=1,2, ... ,n .

Таким образом, для оценки влияния погрешности коэф­фициентов необходимо одновременно с основной решать еще одну систему, где все правые части равны +1. Про­цесс ее решения тот же, что и для системы, с одной раз­ницей: в правой части производится не вычитание, а сло­жение абсолютных значений. Причина этого видоизмене­ния состоит в том, что формулы (8.30) представляют собой неравенства и, преобразовывая их, нельзя допускать умень­шения правых частей.

Рассмотрим пример. Возьмем уравнения (8.12) и пред­положим, что их правые части известны с точностью до двух знаков после запятой, т. е.

IbiI<=0.5*10^-2 .

При исключении x из второго уравнения получим

(2 - 2*1) х+(3 - 2*1)y+(1 - 2*l)z = 9 - 2*4/1+2*1

или y - z = 1/3 .

Число после вертикальной черты является соответствующим элементом дополнительного столбца. Заметим, что 2-1 было прибавлено, а не вычтено из правой части второго уравнения, так как при вычислении ошибки всегда не­обходимо складывать абсолютные значения. Аналогично преобразовываем третье уравнение

(1 - 1*1)х+(-1-1*1)y+(-1-1*1)z = -2 - 1*4/1+1*1

или -2y - 2z = - 6/2 .

Окончательная треугольная система уравнений запи­шется так:

x+y+z = 4/1 ,

y - z = 1/3 ,

- 4z = - 4/8 .

При решении этой треугольной системы с помощью обратной подстановки также необходимо складывать абсо­лютные значения. В результате получаем

dz = 2 ,

dy = 3 + dz = 5

dx = 1 + dy + dz = 8 ,

так что

6x <= 4*10^-2

6y <= 2.5*10^-2

6z <= 10^-2

где

x = 1

y = 2

z = 1 .

2. Все ci заданы точно, но aij заданы с точностью до g знаков после запятой, т. е.

IwijI <= 0.5*10^-g

bi = 0 .

Тогда из (8.29) и из неравенства треугольника следует

a1161 + ... +a1n6n <= 0.5*10^-g*(Ix1I+ ... +IxnI)

...................................................................................

ai161 + ... +ain6n <= 0.5*10^-g*(Ix1I+ ... +IxnI)

...................................................................................

an161 + ... +ann6n <= 0.5*10^-g*(Ix1I+ ... +IxnI)

И снова если di—решения системы при правых частях, равных +1, то можно написать

6i = 0.5*10^-g(Iõ1I+. ..+IxnI)di ..

В качестве примера рассмотрим снова систему (8.1: но на этот раз предположим, что коэффициенты в лев части известны с точностью до двух знаков после запятой . Тогда, учитывая, что

IxI + IyI + IzI = 4 ,

можно написать на основании формулы (8.31)

6x <= 1.6*10^-1

6y <= 10^-1

6z <= 4*10^-2

3. Предположим, что все aij и все ci известны с точностью до п знаков после запятой. Вычисления, аналогичные случаям 1 и 2, дают результаты

6i = 0.5*10^-g(1 + Ix1I + ... + IxnI)* di .

Если предположить, что все числа в системе (8.12) известны с точностью до двух знаков после запятой, то

6x <= 2*10^-1

6y <= 1.25*10^-1

6z <= 5*10^-2

4. Наконец, рассмотрим случай, когда aij и ci известны с точностью до t значащих цифр. Тогда

Iwij/aijI <= 5*10^-t и Ibi/ciI <= 5*10^-t .

Тогда вычисление максимально возможной ошибки приводит к следующему результату:

6i = k*di*5*10^-t ,

где

k = max (I ci I +Iai1x1I + . . . +IainxnI)

и отыскивается максимальное значение для всех i от 1 до n.

Снова обратимся к примеру (8.12) и предположим, что все числа известны с точностью до четырех значащих цифр, т.е. t = 4. Тогда

Ib1I+Ia11xI+Ia12yI+Ia13zI = 8 ,

Ib2I+Ia21xI+Ia22yI+Ia23zI = 18 ,

Ib3I+Ia31xI+Ia32yI+Ia33zI = 6 .

Максимальное значение равно 18, так что

6x <= 7.2*10^-2

6y <= 4.5*10^-2

6z <= 1.8*10^-2

Все вычисленные здесь верхние пределы для ошибок являются обычно слишком грубыми оценками; как пра­вило, фактические ошибки много меньше этих верхних пределов. Можно найти более точные оценки верхних пре­делов — они окажутся меньше, чем найденные в этом параграфе, — но нахождение таких верхних пределов тре­бует основательного знакомства с матричной алгеброй, в частности с правилами обращения матриц. Интересую­щимся читателям можно рекомендовать книгу Гильде-бранда, стр. 436—437.