Упражнения

«Вычислительные» упражнения, приведенные ниже (а также в последующих главах), составлены так, что в случае необходимости они могут выполняться вручную или на клавишной вычислитель­ной машине. Некоторые из них, однако, вполне могут быть решены с помощью ЭЦВМ, причем рекомендуется использовать приемы из упражнений 22—27. Решение этих упражнений с помощью ЭЦВМ, по-видимому, не приведет к существенной экономии времени, но может дать ценные практические навыки программирования итера­ционных методов.

*1. Вычислите отрицательный квадратный корень из 0.5, напи­сав уравнение F (х)=х² — 0.5 и решая уравнение х=х² + х - 0.5 методом последовательных приближений. В качестве х₀ возьмите — 0.6. Можно ли тем же методом найти положительный корень?

2. Найдите отрицательный квадратный корень из 0.25 тем же способом, что и в предыдущем упражнении. В качестве Х0 снова возьмите —0.6. Почему на этот раз метод сходится быстрее?

3. Используйте метод Ньютона — Рафсона для того, чтобы найти квадратный корень из 4 с точностью до четвертого знака. В качестве Х0 возьмите 1.5. Повторите вычисления, взяв в качестве Х0: 2.5, —1.5, 10.0.

*4. Выведите на основе метода Ньютона — Рафсона итерацион­ную формулу для вычисления кубического корня из положительного числа с.

5. Выведите на основе метода Ньютона — Рафсона итерацион­ную формулу для вычисления arcsin А, если задано А.

6. Используя результат упражнения 5, найдите arcsin 0.5 с точностью до третьего знака.

*7. Вычислите с точностью до третьего знака корень уравнения 0.1х²—x lnx = 0, лежащий между 1 и 2.

8. Найдите с точностью до третьего знака корень уравнения

ch x + cosx — 3 = 0.

*9. Используйте метод Ньютона—Рафсона для того, чтобы найти с точностью до третьего знака все корни уравнения

х³ — 1.473x² — 5.738х + 6.763 = 0.

10. Используйте метод Ньютона — Рафсона для того, чтобы найти с точностью до третьего знака корни уравнения х² — х — 6 = 0. В качестве Х0 возьмите 0, затем повторите для Х0=4. Итера­ционную формулу можно существенно упростить алгебраическими преобразованиями.

11. Уравнение 4х³—12.3x²—х + 16.2 = 0 имеет два корня в интервале между 1 и 2. Найдите их с точностью до четвертого знака.

*12. Найдите с точностью до третьего знака корень уравнения х³— 0.39x²—10.5x + 11.0 = 0, лежащий между 2 и 3. Если коэффициенты уравнения известны с точностью 2%, какова верхняя граница возможной ошибки при вычислении корня?

13. То же, что и в упражнении 12, но коэффициенты содержат погрешность 4%.

14. Покажите, что если каждый коэффициент полиномиального уравнения имеет погрешность Р%, то погрешность при вычислении корня будет линейной функцией от Р, если оправдываются допу­щения о малости этой погрешности (см. разд. 5.8).

15. Уравнение 2.0х²—5.0х + 2.0 = 0 имеет корни х₁=0.5 и Х₂=2.0. Если коэффициенты известны с погрешностью 20%, то верхняя граница возможной ошибки при вычислении x₂ равна 1.33. Однако больший корень уравнения

1.6 х²— 6.0х+ 1.6 = 0, в котором коэффициенты изменились на 20% по сравнению с исход­ным, равен 3.47, т. е. ошибка составляет 1.47. Почему фактическая ошибка оказалась выше верхнего предела? С другой стороны, если взять уравнение 1.6х²—4.0х+ 1.6=0, то его больший корень равен 1.79, т. е. ошибка составляет всего 0.21; почему теперь ошибка гораздо меньше, чем в первом случае и гораздо меньше верх­него предела?

16. Рассмотрим уравнение

x⁴ - 26х³ + 131х² —226х + 120 = 0.

Корни этого уравнения равны 1, 2, 3 и 20. Предположим, что в по­стоянном члене имеется малая погрешность, а все остальные коэффи­циенты заданы точно. Покажите, что эта погрешность оказывает вдвое большее влияние на верхнюю границу ошибки для корня, близкого к 3, нежели для корня, близкого к 1, и почти не влияет на корень, близкий к 20. Теперь предположите, что имеется малая погрешность в коэффициенте при х³, а все остальные коэффициенты заданы точно. Покажите, что верхняя граница ошибки для корня, близкого к 1, гораздо меньше этой погрешности и превосходит ее для корня, близкого к 3.

17. Примените метод Ньютона — Рафсона для решения уравне­ния х³—2х²—3х + 10 = 0, причем в качестве x₀ возьмите 1.9 . Можете ли вы объяснить странное поведение значений корня?

18. Используйте метод Ньютона — Рафсона для решения урав­нения х³ — 2х² — Зх + 10 = 0, производя все вычисления с ком­плексными числами. В качестве Х0 возьмите 3 + i.

19. Уравнение

x⁵ + 8x⁴ + l7x³ — 8x² — 14х + 20 = 0

имеет корни —1 и +2. Однако если использовать метод Ньютона — Рафсона, взяв в качестве Х0: —0.3, то процесс сойдется к корню, равному +5. Объясните, почему так получается.

20. Попытайтесь использовать метод Ньютона — Рафсона для решения уравнения

х⁴ — 7х³ + 12х² + 4х — 16 = 0.

Что при этом получается?

*21. Напишите на ФОРТРАНе программу для вычисления квад­ратного корня из переменной А, которой предварительно присвоено некоторое значение. Назовите результат вычислений SQRT A.

22. Предположите, что задано уравнение вида

F(x) = a₆x⁶ + a₅x⁵+a₄x⁴+a_зx³+...+a₀ = 0.

Так как любой из коэффициентов может оказаться равным нулю, то это уравнение может быть шестого порядка или ниже. Предположите, кроме того, что имеется перфокарта с числами, пробитыми в следующем формате:

Колонки: 1—10

1 - 10	x0
11- 20	A0
21 – 30	A1
31 – 40	A2
41 – 50	A3
51 – 60	A4
61 – 70	A5
71 – 80	A6

Все числа пробиты в формате F10.0. Напишите программу для считывания данных с этой карты, вычисления F (Х0) и печати коэф­фициентов, Х0 и F(Х0), используя для этого спецификацию F15.6.

23. В дополнение к перфокарте, описанной в упражнении 22, имеется вторая карта, которая содержит в колонках 1—10 значе­ние переменной EPS в формате F10.0. Напишите программу для вычисления корня многочлена из упражнения 22, применяя метод Ньютона — Рафсона, полагая x0 в качестве исходного приближения и продолжая итерационный процесс до тех пор, пока два приближе­ния не будут отличаться по абсолютной величине меньше, чем на EPS. Когда корень найден, напечатайте его и всю исходную информацию. Рекомендуется вначале ввести оператор PRINT в итерационный цикл, чтобы можно было следить за сходимостью.

24. В дополнение к информации, содержащейся в упражнениях 22 и 23, вторая перфокарта содержит также значение переменной Р, которая представляет собой максимальную ошибку коэффициентов в процентах. После нахождения корня вычислите верхнюю границу для его возможной ошибки и напечатайте это число наряду с прочей информацией.

25. Предположим, что имеются две перфокарты с входной информацией. Первая карта та же самая, что в упражнении 22, но значение Х0 не используется. (При том расположении чисел, которое описано в упражнении 22, необходимо будет прочесть значение x0 , но не использовать его.) Вторая перфокарта содержит следующую информацию:

Колонки:

1—10 XF'

11—20 XL

21—30 DELTA

Напишите программу, где читаются эти перфокарты, и затем производятся следующие вычисления:

1. Присвоить переменной Х значение XF.

2. Вычислить F(X) и присвоить это значение переменной BEFORE.

3. Вычислить F (X + DELTA) и присвоить это значение переменной THIS.

4. Если BEFORE и THIS имеют разный знак, то напечатайте Х и Х+ DELTA. (Простейший способ определить, одинаковы или различны знаки двух чисел, заключается в анализе знака их произведения.)

5. Увеличьте значение переменной Х на величину DELTA.

6. Если Х стало больше XL, прекратите вычисления; в против­ном случае переходите к следующей операции.

7. Присвоить переменной BEFORE значение THIS.

8. Перейти к операции 3.

26. Используя методику предыдущих упражнений, составьте программу, с помощью которой можно было бы прочесть коэффи­циенты XF, XL, DELTA и EPS (выберите сами подходящие форматы для входных перфокарт), найти места перемены знака функции и вы­числить корни при каждой перемене знака. (Это будет очень ценное упражнение и очень полезная программа, но необходимо помнить о тех неожиданностях, с которыми пришлось столкнуться в упраж­нениях 17, 19 и 20. Полная программа для нахождения корней многочлена 6-го порядка будет значительно сложнее.)

27. Усовершенствуйте программу упражнения 26, введя в нее счетчик; он должен прекращать вычисления, если процесс не схо­дится после N итераций. N является целым числом, которое вводится с второй перфокарты. (Для N целесообразно принять значение порядка 15).

28. Пусть задано уравнение F (х) = 0 и два значения X, равные XL и ХН, причем XL < ХН и F (XL) и F (ХН) имеют разные зна­ки; можно утверждать, что уравнение F (х) = 0 имеет по крайней мере один корень между XL и ХН. Предположим, что в этом интер­вале имеется точно один корень и рассмотрим следующую вычисли­тельную процедуру:

1 . Вычислить

2. Если F(X L) и

имеют разные знаки, присвоить переменной ХН значение

о ставить XL неизменным и перейти к операции 3; если же F (X L) и

имеют одинаковые знаки, присвоить переменной XL значение (( XL+XH)/2); оставить ХН неизменными перейти к опе­рации 3.

3. Если (ХН — XL) меньше, чем некоторый заданный допуск EPS, то прекратить вычисления, так как значение XL или ХН равно корню уравнения с точностью EPS. Если (ХН — XL) больше EPS, перейти к операции 1. Описанная процедура называется методом деления пополам. Он не столь элегантен, как те способы, которые рассматривались выше, и вообще не так быстро сходится, но его иногда применяют из-за простоты. Истолкуйте геометрически процесс вычислений, начертите блок-схему и напишите программу для нахождения корня уравнения

_ 0.486х³ — 5.792х² + 0.486х + 4.792 = 0,

лежащего между 2 и 3. Используйте допуск 10^-3.

29. Пусть в методе последовательных приближений т* являет­ся минимальным значением | f‘(х) | для всех х. Покажите, что если т* > 1, то процесс расходится.

30. Предположим, что имеются два значения x0 и x1, такие, что F (x0) < 0 и F (x1) > 0. Пусть х2 — точка пересечения оси х с прямой, соединяющей точки (x0, F (xо)) и (x1, F (x1)). Продемон­стрируйте геометрически, что x2 является лучшим приближением к корню уравнения F (х) = 0, чем x0 и x1. Разработайте вычислитель­ный алгоритм для нахождения корня уравнения F(x)=0, подоб­ный алгоритму из упражнения 28.

31. Предположите, что функция F(x) разложена в ряд Тейлора в окрестности точки хn и ограничьте разложение двумя членами ряда

F(x) = F(Xn) + (x-xn) F'(Xn).

Покажите, что при этих условиях получается приближен­ная фомула

Ч то означает эта формула?

32. Ограничиваясь членами не выше первого порядка в разложе­нии функций двух переменных в ряд Тейлора

покажите, что последующее приближение к корню уравнений

F (х, у) = О,

(х, у)=0

задается формулами

г де

* 33. Пусть F(x,y)=x² + y² - 4,

G(x,y)=xy - l.

Примените метод, описанный в разд. 5.9, взяв Хo=2, уо=0. Имеет ли система другие решения?

34. Пусть

F(x,y) = x³ — х— 2х²— х + 2— у,

G(x, у) = х — у.

Примените метод, описанный в разд. 5.9, принимая xo = yо = 0. Объясните сходство между двумя итерационными формулами.

35. Обобщение метода последовательных приближений на случай системы двух уравнений

х = f (х, y),

y = g (х, y)

дается формулами

Xn+1 = f (xn,yn),

Yn+1 = g (xn,yn).

а. Покажите, что достаточные условия сходимости этого метода записываются в виде

и

(Указание: исследуйте верхнюю границу величины \х—xn|+\y-yп\.)

б. Являются ли условия, изложенные в пункте а, необходимыми для сходимости?

в. Рассмотрим линейные уравнения

a11x + a12y = b1 ,

a21x + a22y = b2 .

Если a11  0 и a22  0, то эту систему можно переписать в виде

К ак. аапишутся для данной системы достаточные условия сходи­мости из пункта а? Какие ограничения накладывают эти условия на наклоны прямых, представленных исходными уравнениями?

36. Рассмотрим кубическое уравнение

ро (х) = х + a2х² + a₁х + а₀ = 0.

а. Если x1, х2 и x3—корни этого уравнения, то покажите, что

a2=-(x1+x2+x3),

a1=x1x2+x1x3+x2x3,

a0= - x1x2x3.

б. Покажите, что если x1, x2 и x3 вещественны и, кроме того, |x1|  |x2|  |x3|, то

x1  - a2

x2  -a1/a2,

x3  - a0/a1.

в. Докажите , что

p1(y) = - p0(-x)p0(x)=y³+(-a²₂+2a1)y²+(a²₁-2a0a2)y-a²₀ ,

где

y = x².

г. Покажите, что корни уравнения p1(y) = 0 суть следующие

y1 = x²₁ ,

y2 = x²₂ ,

y3 = x²₃ .

д. Покажите, что корни

p2(z) = - p1(-y)p1(y)

имеют вид

z1 = x⁴₁ ,

z2 = x⁴₂ ,

z3 = ⁴₃ ,

где

z = y² = x⁴ .

е. Что произойдет с корнями уравнения после многократного

повторения процесса, описанного в пунктах в и д? ж. Опишите, как бы вы нашли приближенные значения x1, x2 и x3 после того, как процесс, описанный в пунктах в и д, был проделан достаточное коли­чество раз и корни раздвинулись. Этот процесс известен под назва­нием алгоритма Греффе. Он обобщается на случай многочленов более высокого порядка и комплексных корней. Инте­ресующимся читателям рекомендуем книгу Гильдебранда, § 10.11.

37. Следующая общеизвестная за­дача приводит к уравнению четвертого порядка.

Две лестницы, одна в 20 футов, другая в 30 футов длиной, поставлены поперек улицы, как показано на схеме, и опираются своими концами на проти­востоящие дома. Определить ширину улицы, если точка пересечения лест­ниц находится на высоте 8 футов над землей.

Покажите, что эта задача сводится к решению уравнения

У⁴—16у³ + 500y² — 8000y + 32 000 = 0

и тогда