5.11. Нахождение исходного приближения

Приближенное значение корня уравнения

F(x)=0

иногда известно из физических соображений. Если же это значение неизвестно, то его часто можно найти с помощью грубого анализа функции.

В основном этот анализ сводится к тому, что отыскивают­ся такие два значения х, для которых F(x) имеет противоположные знаки, т. е. определяются такие х* и х_*, для которых

F(x*)>0

и

F(x_*)<0.

Тогда между х* и x_* есть по крайней мере одна точка, где F (х) = 0. В качестве исходного приближения для нахождения корня F (х) можно взять

x₀ = (1/2) (х* + х_*).

Одним из путей для нахождения х* и х_* является под­бор более простого уравнения, корни которого расположены вблизи от корней исходного. Например, если

то при 0  х  /2 первый член меняется между 0 и 1/10. Так как по сравнению с двумя другими членами эта вели­чина мала, то рассмотрим упрощенное уравнение для двух крайних значений (sin x)/10:

0 + x³ — 1 = 0

и

(1/10) + x³ - 1 = 0.

Корни каждого из этих двух простых уравнений равны соответственно

х * = +1

Проверяем для исходного уравнения

F (х*) =0.084

и

F(x_*)= - 0.18

Таким образом, в качестве первого приближения можно принять

x₀ = (1/2)(1+0.965489) = 0.982749

Для приближенного нахождения корней многочленов существует много специальных приемов. Заинтересованному читателю рекомендуем гл. 2 книги К. Кунца.

ПРОЦЕСС РОСТА

5.12. ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР 7: МОНОКРИСТАЛЛА ИЗ ПАРА

Следующий практический пример иллюстрирует круг вопросов, относящихся к приложениям численных методов. Этот пример показывает, как при решении научной задачи

Рис. 5.11. Осаждение германия из газовой смеси (практический пример 7).

возникает полиномиальное уравнение, как следует его задавать, а также как иногда оно может упрощаться при­менительно к конкретной ситуации.

Когда пары иода и гелия (I2 и Не) проходят над поверх­ностью германия (Ge), то некоторое количество германия вступает в реакцию с иодом и образует GeI2 и GeI4. Выхо­дящие пары состоят из I, I2, GeI2, GeI4 и He (рис. 5.11).

Если теперь пропускать этот пар над кристаллической подложкой из германия, то некоторое количество GeI2 диссоциирует на Ge и GeI4; германий при этом осаждается на подложке. Добавляя определенные примеси в подложку и в осаждаемый кристалл, можно изготовлять различные полупроводниковые приборы.

Вкратце анализ сводится к следующему. Предположим, что полное давление постоянно и равно 760 мм рт. ст.

Предположим также, что газы подчиняются законам идеального газа. Рассмотрим реакции, которые протекают в ходе процессов сублимации и осаждения:

I2_(s)  2I_(s); (5.24)

Ge_(m) + I2_(s)  GeI2_(s); (5.25)

Ge_(m) + GeI4_(s)  2GeI2_(s). (5.26)

Индексы (m) и (s) поставлены для того, чтобы обозна­чить, находится ли вещество в твердом или в газообразном состоянии.

Для некоторой фиксированной температуры Т отноше­ния парциальных давлений различных газов, возведенных в соответствующую степень, называются константами равновесия. Например, в реакции (5.24)

(p_I)²/pI₂ = K₂₄ ,

где pI — парциальное давление атомарного иода (I),

pI₂, — парциальное давление молекулярного иода (I2),

log₁₀K₂₄ = 8.362 — 7991/Т.

Примем температуру равной

Т=273.2°К=0°С.

Тогда

К₂₄ = 1.30*10^-21 = (p_I)²/pI₂. (5.27)

А налогичным образом можно найти константы равно­весия для реакций (5.25) и (5.26)

Парциальное давление твердого германия не входит в эти соотношения, так как в первом приближении оно не зависит от внешнего давления.

Так как полное давление в смеси равно 760 мм рт. ст., то имеем .

Рполн = 760 = P_I+P_I2+ P_GeI2 + Р_GeI4 + P_He . (5.30)

Далее, из закона сохранения вещества следует

где Х есть отношение давления гелия к давлению иода. Это отношение устанавливается в начале опыта и впослед­ствии должно оставаться постоянным. Величина Х опреде­ляется экспериментально; в том эксперименте, который описывается здесь, это отношение составляло 49.36.

Уравнения от (5.27) до (5.31) являются пятью уравнения­ми относительно пяти неизвестных парциальных давлений. Если обозначить Z* = Р_GeI4, то можно свести эти пять уравнений к одному уравнению для Z, а именно

О стальные парциальные давления можно найти из соот­ношений

При заданных T= 273.2° и Х= 49.36 уравнение (5.32) принимает вид

9.972*10¹Z⁴ + 2.870565*10^-7Z² + 6.674356*10^-16Z - 7.600*10² = 0 (5.33)

Уравнение (5.33) представляет собой многочлен четвер­той степени относительно Z. Его можно легко решить мето­дом Ньютона — Рафсона. Программа для решения этого уравнения приведена на рис. 5.12.

Из физических соображений известно, что парциальное давление GeI4 лежит между 0 и 10 мм рт. ст.; в качестве исходного приближения Zo мы взяли 5.0.

Метод Ньютона — Рафсона был изложен в виде после­довательных итераций, причем каждой очередной итерации присваивался новый индекс (1, 2, 3, ...). Нет никакой необходимости сохранять это обозначение в программе; ведь все, что требуется для вычислений — это результаты предшествующей и текущей итераций. В программе на на рис. 5.12 переменная Z представляет собой результат предшествующей итерации (первоначально равный 5.0), а переменная ZNEW — новое значение, которое вычисляется по формуле Ньютона — Рафсона.

Мы ожидаем, что итерационный процесс будет сходиться, но опытный программист всегда примет меры к тому, чтобы избежать такой ситуации, когда ошибки в исходной информации или в программе могли бы вызвать неопределен­но долгую работу ЭЦВМ без выхода из цикла. Поэтому мы введем специальную переменную, так называемый счетчик. В программе этой переменной присвоено наименование ITN. Если процесс не сойдется после 15 попыток, то он дол­жен быть прекращен.

Значения функции и производной вычисляются по ре­куррентным формулам, приведенным в разд. 5.7. Конечно, можно было бы написать

и тогда вся итерационная формула выразилась бы с помо­щью одного длинного арифметического оператора. Мы пред­почли сделать вычисления так, как это показано в програм­ме, отчасти потому, что это немного быстрее

( Читатель может сам убедиться, что в приведенной программе на вычисление F{Z) и F'(Z) затрачивается на три умножения мень­ше, чем потребовалось бы в случае явной формулы.),

отчасти потому, что такой способ вычисления лучше согласуется с использованием переменных с индексами, чему будет посвящена гл. 7.

После вычисления нового значения ZNEW мы должны проверить, не стали ли два очередных приближения доста­точно близки друг к другу; это укажет, что достигнута

необходимая точность. Согласно общему правилу, не сле­дует производить это испытание по абсолютной точности

1 5	6	7 FORTRAN STATEMENT
		Z = 5.0
		ITN = 0
41		B = 99.72
		C = B
		B = 0.0 + Z * B
		C = B + Z * C
		B = 2.870565E-7 + Z * B
		C = B + Z * C
		B = 6.674356E-16 + Z * B
		C = B + Z * C
		B = -760.0 + Z * B
		ZNEW = Z – B / C
		IF (ABSF((Z – ZNEW ) / ZNEW ) – 1 0E-5 ) 42 , 43 ,43
43		ITN = ITN + 1
		IF ( ITN – 15 ) 44 , 45 , 45
44		PRINT 46 , ZNEW
		Z = ZNEW
		60 T0 41
45		STOP / 234

1 5	6	FORTRAN STATEMENT
42		PRINT 46 ZNEW
46		FORMAT (F15 7)
		STOP
		END

Рис. 5.12. Программа для нахождения корней многочлена четвер­того порядка с помощью метода Ньютона — Рафсона (практический пример 7).

совпадения двух очередных приближений. Например, если бы корень оказался порядка 10^-4, то было бы бессмысленно

проверять, не отличаются ли два очередных приближения на 10^-3 процесс остановился бы почти немедленно, а зна­чение «корня» имело бы очень небольшую относительную точность. С другой стороны (хотя здесь этот случай и не­возможен), если бы корень был порядка 10⁵, а мы произво­дили бы проверку на совпадение с точностью 10^-3, то ошибки округления привели бы к тому, что процесс вообще не удалось бы закончить. Очевидное реше­ние пробуемы состоит в том, чтобы проверять относительную точность совпадения двух очередных приближений. Поэтому в программе проверка состоит в сравнении абсолютной величины разности между двумя последовательными приближениями, деленной на последнее из них, с допуском, скажем, 10^-5 По-видимому, такая проверка в данном случае достаточна, если учесть ограниченную точность исходной информации,

3.7652427

2.8596258

2.2261980

1.8423436

1.6864486

1.6620756

1.6615289

1.6615286

Рис. 5.13 Выходная печать для программы рис. 5.12 ( практический пример 7 ).

Если процесс сошелся, то мы печатаем программы окончательное значение ZNEW с помощью оператора PRINT и прекращаем вычисления. Если процесс не закончился, то мы прове- ряем с помощью переменной ITN, сделано ли уже 15 итераций, и при достижении этого предела останавливаем программу. В противном случае мы присваи­ваем переменной Z (результату предшествующей итерации) значение ZNEW, возвращаемся к началу программы и вы­числяем очередное приближение.

Чтобы можно было наблюдать сходимость, в итерацион­ный цикл введен оператор PRINT. Обычно этого не делают.

Результаты вычислений показаны на рис. 5.13; быстрая сходимость метода Ньютона — Рафсона очевидна. Парциальные давления получаются равными

Р_GeI4 = 7.621*10⁰

p_I2 = 1.428*10^-12

p_I = 4.3*10^-17

p_GeI2 = 1.573*10^-8

р_He = 7.524*10²

Читатели, вероятно, уже заметили, что в уравнении (5.33) коэффициенты при Z² и Z гораздо меньше, чем при Z⁴ и Z⁰ . Если пренебречь членами, содержащими Z² и Z, и решать уравнение

9.972*10¹Z⁴ — 760 = 0 ,

то получится тот же результат, а именно Z == 1.6615286. При этом метод Ньютона — Рафсона даст те же последова­тельные приближения, как на рис. 5.13.