5.9. Системы уравнений

Весьма часто приходится решать задачи, где для опре­деления нескольких неизвестных величин задается столько же уравнений. Пусть, например, необходимо найти такие х и у, при которых

x² + y = 3,

y² + х = 5.

В этом случае можно выразить у через х из первого уравнения и поставить во второе уравнение. При этом получается

x⁴ — 6x² + х + 4 = 0.

Теперь мы получили многочлен, корни которого можно найти с помощью методов, рассмотренных выше. Один из корней равен х = 1, и поэтому у = 2.

Очень часто, однако, бывает трудно или нецелесообразно сводить задачу к решению одного уравнения с одним неиз­вестным. Соответствующая ситуация характерна для реше­ния системы линейных уравнений; этот случай специально рассматривается в гл. 8, так как для линейных уравнений разработаны специальные методы решения. Здесь мы при­водим итерационные формулы для решения системы двух

нелинейных уравнений с двумя неизвестными, полученные путем обобщения метода Ньютона — Рафсона. Вывод этих формул предоставляется читателю (упражение 32). Пусть заданы уравнения

F (х, у) = 0,

G (х, у) = 0

и известны приближенные значения корней х_n , у_n.

П оложим

Это выражение называется якобианом системы; пред­полагается, что он отличен от нуля. Это аналогично пред­положению F'(x)  0 в случае одной переменной.

При этих условиях следующее приближение можно вычислить по формулам

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два последовательных приближения не будут достаточно близки друг к другу. Численные примеры можно найти в упраженениях 33 и 34.

Обобщение простого метода последовательных прибли­жений для случая системы двух уравнений дается в упраж­нении 35.

5.10. Комплексные корни

Все методы, описанные выше, применялись нами для нахождения вещественных корней уравнений или систем из двух уравнений. Сейчас мы очень кратко рассмотрим решение уравнений, корни которых являются комплекс­ными числами.

Должно быть ясно, что если все значения функции веще­ственны и в качестве начального приближения х0 также

188

взято вещественное число, то и все последующие значения Xi также будут вещественными. Однако если взять в качест­ве x0 комплексное число, то последующие х; также могут оказаться комплексными. Все методы, описанные выше, годятся для работы с комплексными числами так же хоро­шо, как недействительными. Во многих вариантах ФОРТРАНа предусмотрена возможность работы с комплексными числами, так что в этом случае для нахождения комплекс­ных корней достаточно небольшого изменения программы.

Кроме того, известно, что если а + bi есть корень мно­гочлена с действительными коэффициентами, то а— bi также является его корнем. Поэтому многочлен Рп(х) степени п, имеющий такую пару корней, можно записать в следующем виде:

Рn (х) = (х² - 2ах + (а² + b²)) р_n-2 (х),

где выражение в скобках называется квадратичным множи­телем; р_n-2 (х) является многочленом степени п — 2. Тогда можно провести анализ, подобный тому, что проведен в разд. 5.7, и найти а и Ь, не выходя за пределы арифметики вещественных чисел. Интересующимся читателям рекомен­дуем гл. 10 книги Гильдебранда.

Использование метода последовательных приближений для нахождения комплексных корней известно под названи­ем метода Лина, а использование для той же цели метода

Ньютона — Рафсона известно под названием метода Берстоу.