5.8. Влияние неточности коэффициентов многочлена

Очень часто коэффициенты аi многочлена (5.16) полу­чаются из эксперимента или из предыдущих вычислений. В любом случае значения коэффициентов содержат в себе некоторые ошибки и очень важно знать, как влияет ошибка в значении коэффициента на ошибку в вычисленном значе­нии корня.

Необходимо отметить, что эта ошибка не зависит от ис­пользованного при решении задачи метода вычислений. Мы будем предполагать, что ошибка округления при вычис­лениях отсутствует; точнее, она пренебрежимо мала по срав­нению с ошибками, возникающими из-за неточности коэф­фициентов. На практике это допущение оправдывается довольно часто. Например, нет ничего необычного в том, что с помощью ЭЦВМ, числа в которой представляются с точностью до 10 значащих цифр, отыскиваются корни многочлена, коэффициенты которого известны всего с точ-.ностью до нескольких процентов. Естественно, что в таких обстоятельствах ошибкой округления можно пренебречь.

Пусть каждое значение аi задано с ошибкой i, т. е. фактический многочлен имеет следующий вид:

F*(x)=(a0+0)+(a1+1)x+(a2+2)x²+…+(am+m)x^m (5.19)

причем |i| малы по сравнению с |аi|. Пусть х является корнем многочлена

F (х) = a0+a1х+a2x²+...+amx^m. (5.20)

Пусть, наконец, _

х*=х+е (5.21)

представляет собой корень многочлена (5.19). Предположим также, что || мало по сравнению с |х|. Наша задача

заключается в том, чтобы оценить . Необходимо отме­тить, однако, что проведенное ниже рассуждение .основано на предположении о малости || сравнительно с |х|, в противном случае результаты окажутся неверными. Во многих случаях, однако, это предположение оправдано; кроме того, всегда можно проверить его справедливость, если имеется оценка величины 8. Подставляя (5.21) в (5.19) и учитывая, что

F* (х*) = О, имеем

_ _

(a0 + 0) + (a1+ 1) (х +)+. ..+ (am +m) (х + )^m = 0

_

Раскрывая скобки в ( х +  )^j и пренебрегая членами, содержащими е в степенях выше первой, получаем _ _ _

(a0 + 0) + (a1 +1) ( х +  )+...+ {arn-i + m-i)(x ^m-1+ (m - I ) x^m-2) + (am + m) ( x^m + mex^m-1) = 0.

Пренебрегая также членами, содержащими произведе­ния i, находим окончательно

_ _ _ _

0+1x+...+ mx^m +  (a1 + 2а2x + . . . + mа_mх^m-1) = О,

так как F (х) = О, или

(5.22)

В ерхняя граница возможной величины е выразится тогда в виде

Рассмотрим теперь два частных случая:

1. Коэффициенты многочлена измерены в результате эксперимента с точностью до некоторого определенного знака после запятой (например, р знаков).

2. Коэффициенты многочлена вычислены заранее с опре­деленным количеством достоверных значащих цифр.

Речь идет о разнице между абсолютной и относитель­ной точностью задания коэффициентов.

С лучай 1. Если все аi заданы с точностью р знаков после запятой, то

и из (5.22) получаем

В силу неравенства треугольника

П равая часть этого последнего неравенства представляет собой геометрическую прогрессию и равна

Поэтому окончательно

Вместо /'(х) в этой формуле подставлено c1, вычисленное по формулам (5.17) и (5.18).

Пример

F(х) = х³—х—1. Предположим, что коэффициенты заданы с точностью до четвертого знака после запятой (р == 4). Один из корней этого уравнения, как было пока­зано выше, равен 1.324718. Верхняя граница (5.23) при этом равна

0.75*10^-4

Это означает, что

х= 1.324718 ± 0.000075

Таким образом, дальнейшие итерации следует признать бессмысленными, так как они не приведут к уточнению значения корня.

Случай 2. -Если коэффициенты аi заданы с точностью в t значащих цифр

| _i |  5*10^-t | a_i | ,

то, исходя из (5.22),

Пример

f(x)==x³—x—1. Предположим, что коэффициенты заданы с точностью до четырех значащих цифр (t = 4). Тогда для х = 1.324718

|| 0.00055,

так что

х= 1.324718 ± 0.00055.

Таким образом, в качестве значения корня должно быть взято 1.325, причем возможна ошибка на одну единицу млад­шего разряда.