5.6. Сравнение методов и их ошибок округления

Так как метод Ньютона — Рафсона сходится гораздо быстрее, чем метод последовательных приближений, возни­кает вопрос, почему все же используется и тот и другой. Дело в том, что при использовании метода Ньютона — Раф­сона при каждой очередной итерации требуется вычислять не только функцию, но и ее производную. Эти вычисления могут оказаться трудными, длительными или даже вообще невозможными. Например, функция f(x) может быть задана не формулой, а таблицей значений. Производная может даже не существовать в некоторых точках. В таких случаях часто применяется метод последовательных приближений или различные его модификации.

Другими словами, выбор метода зависит от конкретного вида функции f(x) или F(x).

Интересно и важно отметить тот факт, что ошибка округ­ления не накапливается при использовании итерационных методов решения уравнений. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зави­сит от арифметических операций, выполнявшихся в преды­дущих итерациях. Это общее свойство всех итерационных методов; оно является одним из важнейших преимуществ итерационных методов перед всеми другими. Причина того, что ошибки округления не накапливаются, ясна — каждое новое приближение, включая и предпоследнее, можно рас­сматривать как исходное приближение. Ошибка округления при вычислении последнего приближения зависит, таким

Р и с. 5.10. Граф вычислительного процесса для метода Ньютона -Рафсона.

образом, только от арифметических операций, с помощью которых это последнее приближение получается из предпо­следнего.

Граф вычислительного процесса для метода Ньютона — Рафсона изображен на рис. 5.10. Исходная ошибка в x_n отсутствует: можно считать, что x_n представляется в виде бесконечной десятичной дроби, которая содержит одни нули, начиная с некоторой цифры. При вычислении F(x_n) и F'(x_n) появляются относительные ошибки округления; назовем их соответственно r и r’. Обозначим относительную ошибку округления при делении и при вычитании соот­ветственно через d и s. Тогда абсолютная ошибка округления при вычислении x_n+1 будет равна

В большинстве случаев общая ошибка определяется неточностью r и r' при вычислении F(x_n) и F'(x_n).

5.7. Корни многочленов

Рассмотрим практически важный случай, когда F(x) представляет собой многочлен степени т

F(x) = a₀+a₁x+a₂x²+...+а_mx^m. (5.16)

Применим метод Ньютона—Рафсона согласно формуле (5.15).

Вычисление F(x_n) по правилу Горнера было изложено в разд. 3.4. Имея рекуррентные формулы

находим

F(x_n) = b₀.

Но, согласно формуле (3.11) из разд. 3.4,

F (х) ==(x—x_n)G (x) +b₀, где

G(x) = b₁+b₂x+...+b_mx^m-1.

Поэтому

F' (x) =(x - x_n)G'(x) + G (x). Следовательно, F'(x_n) = G(x_n).

Но ведь G(x) является многочленом степени т—1,так что, используя правило Горнера, можно вычислить G(x_n) и таким образом найти F'(x_n). Воспользовавшись теми же рекуррентными формулами, имеем

и соответственно F'(x_n)=G(x_n)=c₁.

П одставляя найденные значения F (x_n) и F' (x_n)в формулу (5.15) для метода Ньютона—Рафсона, получаем

b₀ и c₁ вычислены здесь по формулам (5.17) и (5.18). Этот метод нахождения корней полиномов часто называют методом Бирге—Виета.

Пример Задан многочлен

F(x) = x³ — x — 1.

Требуется найти корень, расположенный вблизи x₀ = 1.3. Последовательность вычислений приводится в табл. 5.1.

Таблица 5.1

i	ai	bi	ci
3	1	1	1
2	0	1.3	2.6
1	-1	0.69	4.07
0	-1	-0.103

i	ai	Bi	ci
3	1	1	1
2	0	1.325	2.65
1	-1	0.755625	4.267
0	-1	0.001203

i	ai	bi	Ci
3	1	1	1
2	0	1.324718	2.649436
1	-1	0.154878	4.264634
0	-1	0.0000004

Из таблицы видно, что х2 и x3 совпадают с точностью до седьмого знака; поэтому x3 имеет по крайней мере семь достоверных значащих цифр и почти наверняка больше. Дальнейшее рассмотрение методов нахождения корней многочленов продолжается в практическом примере 7.