5.4. Метод ньютона — рафсона

Вспомним, что в формуле (5.11) мы заменяли производ­ную разностью. Вспомним также, что оптимальное значе­ние  лежало в интервале x_n    a .

(5.13)

П редположим, что для простоты вычислений мы выбрали  = x_n. Тогда (5.10) приобретает следующий вид:

x_n+1 находим из формулы

(5.14)

Нетрудно видеть, что (5.14) эквивалентно простому методу последовательных приближений

x_n+1=g(x_n)

где

Вспомним также, что если | g' (x) | < 1, то метод сходится. Для g' (х) имеем

Но поскольку f(x) подчиняется соотношению (5.2), то для х, достаточно близких к а, выражение в скобках становится малым. Поэтому итерационный метод, описывае­мый формулой (5.14), сходится, если

1. x₀ выбрано достаточно близко к решению х = f(x).

2. Производная f”(x) не становится слишком большой.

3. Производная f’(x) не слишком близка к 1. Это и есть знаменитый метод Ньютона — Рафсона. Обыч­но его записывают в более привычной форме

г де

F(x)=f(x)— х=0.

Таким образом, мы возвращаемся к уравнению в форме (5.1), и условия сходимости принимают следующий вид:

1. xq выбрано достаточно близко к корню уравне­ния F(x) = 0.

2. Производная F"(x) не становится очень большой.

3. Производная F'(x) не слишком близка к нулю. Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. В следую­щем разделе мы вернемся к этому вопросу.

Рассмотрим геометрическое толкование метода Ньюто­на — Рафсона. В формуле (5.13) мы выбрали точку  совпа­дающей с x_n. На рис. 5.5 это соответствует тому, что угол  равен углу наклона касательной к у = f (х) в точке х = x_n. Нахождение следующего приближения, сводится при этом к тому, что проводится касательная к кривой y = f(x) в точке х = x_n и отыскивается точка ее пересечения с прямой у = х. Эта точка и будет новым приближением x_n+1. Чтобы найти f(x_n+!), через значение x_n+1 проводится верти­кальная линия. После этого проводится новая касательная, точка пересечения которой с прямой у = х даст значение

Р и с. 5.6. Геометрическое представление метода Ньютона — Рафсона для f (х) = х.

x_n+2 . Последовательность операций показана на рис. 5.6, где изображен случай 0<.f'(x)< 1.

Заметим, что теперь сходимость гораздо лучше, чем для простого метода последовательных приближений, изображенного на рис. 5.1. Такая быстрая сходимость типична для метода Ньютона — Рафсона, так как величи­на g'(x) очень мала.

Если уравнение задано в форме (5.1) и используется итерационная формула (5.15), то геометрически можно пред­ставить себе ход вычислений по рис. 5.7. В этом случае отыскивается точка пересечения кривой у = F(x) с осью х.

Исходя из некоторого начального приближения Хп, находим соответствующее ему значение F(Xn), проводим касательную к кривой y == F(x) и ищем точку пересечения этой каса­тельной с осью х. Легко видеть, что эта точка и будет зна­чением Хп+1 из формулы (5.15), так как там и требуется

Р и с. 5.7. Геометрическое представление метода Ньютона — Рафсона для F (х) = 0.

провести через точку с координатами x_n, F(x_n) прямую с угловым коэффициентом F'(x_n) и затем найти ее пересе­чение с осью х.