Метод Гальоркіна

Метод Гальоркіна будується на Теоремі із загальної теорії рядів Фур’є :

ТЕОРЕМА : Нехай - повна система функцій з не нульовою нормою, ортогональних на . Якщо неперервна функція ортогональна на відрізку до всіх функцій , тобто ,

То тоді при .

Проілюструємо метод Гальоркіна на прикладі.

Для зручності запишемо задачу у виді :

(9)

(10)

Вибираємо систему базисних функцій , які задовольняють таким умовам :

Розв’язок задачі (9),(10) будемо шукати у вигляді :

(11)

При виборі базисних функцій функція , яка визначається за (11) задовольняє умовам (10) при будь-якому виборі коефіцієнтів . Вираз (11) підставимо у рівняння (9), звідки визначаємо нев’язку :

Для точного розв’язку у нашої крайової задачі функція , тому для одержання наближеного розв’язку, близького до точного, вигідно підібрати коефіцієнти так, щоб функція була в деякому сенсі малою.

Згідно методу Гальоркіна будемо вимагати, щоб нев’язка була ортогональна до базисних функцій , , що при достатньо великому числі цих функцій забезпечить малість нев’язки в середньому. Тобто :

(12)

Для визначення коефіцієнтів приходимо до розв’язання системи (12).

Це система рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів , або ж система (12) можемо записати у виді :

(13)

(13) перепишемо так :

Якщо у (12) замість буде , тобто , ,

де - це довільна система лінійно незалежних ортогональних функцій, але вона має бути повною і мати відповідні диф.властивості. То маємо метод ортогональних проекцій. В цьому методі не вимагається, щоб функції задовольняли граничні умови (10).

Приклад :

В якості системи базисних функцій виберемо :

:

Наближений розв’язок будемо шукати у виді полінома

Підставимо у ліву частину заданого рівняння :

Одержимо нев’язку :

(14)

Умови ортогональності функції до функції приводять до системи :

В цю систему підставимо (14) і про інтегруємо, тоді одержимо систему :

Звідси знаходимо

Тоді розв’язок можемо записати у виді :

Приклад :

Відомо, що ортогональною системою функцій є система тригонометричних многочленів :

Виберемо

Тоді матимемо систему :

Таким чином, наближений розв’язок такий :

- точний розв’язок.

	1,4286	2	3,7143
	1,368	2	3,718

- наближений розв’язок ;

- точний розв’язок.

47