Метод колокацій

Розглянемо рівняння

(1)

(2)

, , - задані функції з потрібними диф.властивостями ( тобто мають другі похідні ), і є непевні на [a,b] ; , , , , , - відомі , - шукана функція. Як правило на ці константи накладаються умови

Побудуємо систему функцій (3), що задовольняють умовам :

1. ця система функцій є лінійно незалежною ;

2. ця система функцій є повною – за допомогою цієї системи можна наблизити з довільною стелінню точності функцію з цього класу :

3. ця система функцій має на [a,b] неперервні похідні до другого порядку включно

4. функція задовольняє неоднорідним крайовим умовам :

(4)

а функції задовольняють крайовим умовам :

(5)

.

Будемо шукати розв’язок (1),(2) у вигляді (6)

де , - невідомі коефіцієнти. Очевидно, що (6) задовольняють умовам (2) при довільних значеннях коефіцієнтів. Підставимо (6) в (1). Отримаємо :

(7)

(8)

Підставимо (7), (8) в (1). Одержимо нев’язку :

Якби нам вдалось так підібрати , що , то (6) було б розв’язком (1),(2) , бо задовольняє граничні умови і основне рівняння. Але так вдається зробити дуже рідко, то вимагають, щоб перетворювався в нуль в досить густій системі точок ( точки колокацій ) і тому виберемо систему точок і будемо вимагати, щоб

(9)

(9) – це система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно . Якщо система має розв’язок, то знайшовши ми маємо наближений розв’язок (6) задачі (1),(2). Зрозуміло, що чим більше , тим точніший розв’язок.

Приклад 1:

, бо крайові умови однорідні. Виберемо базисні функції які задовольняють крайовим умовам. Тоді розв’язок :

Обмежимось За точки колокації візьмемо .

Підставимо в початкове диф.рівняння :

Маємо наближений розв’язок :

При :

Приклад 2 :

Розв’яжемо задачу про усталений розподіл температури у стержні нескінченої довжини.

(10)

(11)

Розв’язок будемо шукати у виді :

- виконується

- виконується.

Знайдемо нев’язку при :

Метод колокацій викликав у строгих математиків сумніви до недавнього часу :

1. цілком очевидний його зв’язок із інтерполяцією, а відомо, що процес інтерполяції у загальному випадку не є рівномірно збіжним ;

2. не зрозуміло, як вибирати точки колокацій, і як від цього буде залежати розв’язок ;

3. для двохвимірних (і більших розмірностей) задач не маємо гарантії, що вибрані точки не належать кривій якогось порядку 1-го, 2-го і т. д. і у нас не вийде система рівнянь, що має розв’язок.

Метод найменших квадратів.

Проілюструємо цей метод на такій задачі :

(1)

(2)

Виберемо систему функцій так, щоб задовольняла неоднорідні умови :

(3)

а - однорідні граничні умови :

(4)

.

Наближений розв’язок задачі (1),(2) будемо шукати у виді :

(5)

- шукані коефіцієнти.

Функція (5) задовольняє умови (2) при будь-яких значеннях невідомих коефіцієнтів.

- двічі неперервно диференційовні функції на , лінійно незалежні ; - базисні функції або координатні функції. Знайдемо і і підставимо в (1). Отримаємо нев’язку

_{У методі найменших квадратів вимагається, щоб}

За змінними . Необхідною умовою мінімуму є :

(7)

(8)

Розв’язавши систему рівнянь (8), ми знайдемо коефіцієнти . Знайдемо розв’язок (5) задачі (1),(2). Система (8) є лінійною і її можна розв’язати будь-яким відомим методом.

Необхідні умови в даному випадку є достатніми, тому що >0.

_{Приклад :}

Підставимо в (8) і знаходимо інтеграли :

Одержимо систему :

- метод колокацій

- метод найменших квадратів