Позмінно-трикутний метод з Чебишевським набором параметрів

Розглянемо метод

(19)

_, (20) - заданий вектор.

Як відомо в Чебишевському методі параметри вибираються так, щоб за ітерацій похибка була мінімальною.

Для цього параметри слід вибирати так :

При цьому для малих - число ітерацій, необхідних для одержання заданої точності , рівно

Ми показали, що для модельної задачі , тому

Позмінно-трикутний метод можна вдосконалювати, якщо за матрицю взяти

(21)

Якщо вибрати так, то ми одержимо модифікований позмінно-трикутний метод, який при правильному підборі матриці може зменшити кількість ітерацій. Потрібно розв’язати 2 системи :

Ітераційний метод змінних напрямків

Розглядається система рівнянь (1)

З не виродженою квадратною матрицею порядку . Представимо у виді суми двох матриць простішої структури : . Якщо відповідає різницевій апроксимації рівнянь еліптичного типу двох змінних і , то відповідає апроксимації по змінній , а - по .

Будемо розв’язувати систему (1) у 2 етапи:

1. На першому етапі знаходиться проміжкові значення

(2)

2. На другому шукаємо

(3)

- деяке початкове наближення.

(2),(3) можемо переписати так :

(4)

(5)

Для відшукання необхідно розв’язати дві системи рівнянь :першу із матрицею , і другу – з . Зрозуміло, що все це доцільно робити, коли розв’язання системи (4),(5) є простим і ефективним. Наприклад, система (4) розв’язується методом одновимірної прогонки по змінній , а система (5) – методом одновимірної прогонки по змінній .

Дослідимо похибку методу і для цього розглянемо ,як даний оператор, що діє у відповідному скінчено-вимірному просторі.

Введемо похибку :

Виразимо звідси , , і підставимо їх у формули (4),(5). Ми одержимо 2 рівняння, які зв’язують ці похибки :

(6) (7)

(8)

Теорема ( про збіжність ) : Нехай , де

(*). Тоді ітераційний метод (2),(3) збіжний при будь-якому . Якщо (9) (10) то при для оцінки похибки має місце нерівність (11),

де (12)

Доведення : Запишемо із (8) рівняння для похибки у виді ,

де (13)

Оператор являється самоспряженим, так як по умові (*) Теореми і - самоспряжені оператори.

Нехай є власними значеннями оператора .

- власні значення оператора

- власні значення оператора .

Тоді довільне власне число можна представити виді

(14)

Із (14) видно, що при , всі власні числа по модулю менші 1,тобто

Тобто метод (2),(3) збіжний. Із (14) маємо :

(15)

Із умов (9) і (10) маємо :

Тоді

(16)

Якщо в ці оцінки підставити , то ми одержимо :

І тому із(15),(16) одержуємо ,

Так, що . Теорема доведена.