Позмінно–трикутний метод

Нехай задана система лінійних рівнянь з симетричною додатньовизначеною матрицею порядку .

(1)

Задамо матрицю наступним чином :

(2) – це нижня трикутна матриця.

Нехай спряжена матриця до , тобто просто транспонована у випадку дійсних матриць і комплексно-спряжена у випадку комплексних матриць. Тоді ( верхня трикутна, при чому діагоналі і співпадають ).

Рівняння (1) зручно розглянути, як операторне рівняння з оператором , що діє у відповідному просторі.

Для розв’язання системи (1) розглянемо неявний стаціонарний метод :

- заданий вектор.

- самоспряжений додатний оператор, який у позмінно-трикутному методі визначається як

(4) числовий параметр.

Параметри та будуть вибирати так, щоб метод (3) був збіжний.

Систему рівнянь будемо розв’язувати в 2 етапи:

• на першому шукаємо проміжків результат з системи рівнянь

(5) де

• на другому етапі, використовуючи знайдене значення , знаходимо із системи

(6)

Розв’язування (5), (6) не складає труднощів, так як матриці та є трикутними.

Розглянемо питання збіжності стаціонарного неявного методу (3). Нехай і симетричні додатньовизначені матриці, для яких виконуються матричні нерівності

(7) ,

Тоді при ітераційний метод (3) збігаються при чому, мають місце оцінки

- так звана енергетична норма для додатньовизначених операторів

Для доведення збіжності доведемо Лему.

Лема: Нехай існують додатні константи і так, що (8) (9),

Тоді для матриць та виконується нерівність (7), де (10) (11)

Доведення : Розглянемо оператори

Звідси маємо

, ,

Тоді

Таким чином,

Враховуючи нерівності (8),(9) одержимо

Таким чином, , де - , визначена із (10). Лема доведена.

ЗАУВАЖЕННЯ:Замість і можемо взяти .

_{ТЕОРЕМА(про збіжність)}: Припустимо, що і існують додатні константи і , при яких виконуються нерівності _.

_Нехай де .

Тоді ітераційний метод (3),(4) збіжний, при чому для похибки справедлива оцінка , де .

Доведення: Доведення дає відповідь на питання : якими мають бути параметри і , щоб позмінно-трикутний метод збігався.

За доведеною Лемою при виконанні нерівностей мають місце матричні нерівності (7). Теорема про збіжність неявного стаціонарного методу говорить, що досить вибрати а швидкість збіжності залежить від параметру Підберемо параметр таким чином, щоб величина була найменшою. Для цього достатньо знайти значення , при якому функція досягає максимуму. Із формул (10), (11) маємо :

Обчислимо константи :

,

.

,

. Теорема доведена.

Застосування позмінно-трикутного методу до модельної задачі

Розглянемо задачу :

(12)

(13) - граничні умови

Введемо простір функцій , заданих на сітці

Які перетворюються в нуль на границі сітки. Визначимо в скалярний добуток і норму :

Задачу (1),(2) можемо записати як операторне рівняння .

, або ж переписати у виді :

(14)

Оператор можна представити я суму двох операторів :

Матриця оператора - нижня трикутна, матриця оператора - верхня трикутна.

Оператор спряжений до оператора :

Покажемо це :

(15)

З другого боку : (16)

Віднімемо :(15)-(16)

,в силу граничних умов. А це доводить,що .

_{В якості} можемо взяти мінімальне власне значення оператора , тобто , де не дуже відрізняється від . Тоді маємо .

За умовою Леми та Теореми потрібно визначити та :

Визначивши та ми повністю задали метод. Швидкість збіжності визначає .

Тобто, для того, щоб початкова похибка зменшилась в раз,потрібно виконати операцій.

Алгоритм знаходження у відповідності формул (5), (6) полягає у наступному :

• на першому етапі розв’язується система рівнянь

(17)

де .

Із цієї системи знаходимо проміжні значення . Система (17) розв’язується в явному виді, якщо підставляти і т.д. рухатись від правого верхнього кута до правого нижнього(тому що матриця цієї системи є верхньою трикутною). При

То (17) можна записати у виді :

Звідси зразу знаходимо , далі обчислення проводимо в точці і знаходимо ,…, ,далі переходимо в точку і т.д. до точки .

• На другому етапі розв’язується система рівнянь

(18)

Система (18) розв’язується аналогічно . Починаємо з точки і закінчуємо в точці .