4.9 Составление канонического уравнения гиперболы по условиям, которые её определяют

П ри составлении канонического уравнения гиперболы важно знать, где расположены фокусы гиперболы.

4.8.1 Составление уравнения гиперболы по координатам его вершин (длине действительной оси) и координатам фокусов ( фокальному расстоянию)

Задача 31 Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках А(-3;0) и С(3;0), а фокальное расстояние равно 10.

Решение

1. Т.к.вершины гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2 Найдем длину действительной оси АС:

, т.е.

3 Найдем полуфокальное расстояние

По условию:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

Задача 32 Составить уравнение гиперболы, фокусы которого находятся в точках F₁(0;-9) и F₂(0;9), а действительная ось равна

Решение

1Т.К.Фокусы гиперболы ,то действительная ось и уравнение гиперболы имеет

вид:

.

2 Найдем длину действительной оси:

по условию задачи

3 Найдем фокальное расстояние:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

4.8.2 Составление уравнения гиперболы по координатам его вершин ( длине действительной оси) и эксцентриситету

Задача 33 Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если длина действительной оси равна 12, а эксцентриситет .

Решение

1. Т.к.фокусы гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2 Найдем длину действительной оси :

по условию задачи

3 Найдем полуфокальное расстояние

По условию , воспользуемся определением эксцентриситета .

Имеем: подставив в полученное равенство значение а, получим:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

Задача 34 Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси ох, если длина ее мнимой оси равна 8 и эксцентриситет .

Решение

1Т.к.фокусы гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2. Найдем длину мнимой оси

По условию задачи

3 Найдем длину действительной оси

По условию , воспользуемся определением эксцентриситета , где

,т.к. ,то .

Имеем: . Возведем обе части равенства в квадрат

. Воспользуемся основным свойством пропорции:

4 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим: