4.5 Сопряженные гиперболы

Две гиперболы, которые определяются уравнениями и в одной и той же системе координат при одних и тех же значениях a и b называются сопряженными друг к другу (рис.28).

Рис.28

4.6 Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой

,

тогда уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

(4.5)

А симптотами равносторонней гиперболы являются прямые . Таким образом, асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Из школьного курса известно, что уравнение гиперболы или , , и имеет график, изображенный ниже (рис.11).

Рис.29

Можно доказать, если систему координат OXY повернуть на 45 против часовой стрелки, то равносторонняя гипербола займет положение гиперболы , при этом асимптоты и оси координат поменяются ролями.

Поэтому про школьную гиперболу говорят – это равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам.

Задача 27 Построить гиперболу . Найти координаты вершин и фокусов. Составить уравнения асимптот.

Решение

1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 36, получим

2 Найдем полуоси гиперболы

.

3 Запишем:

- координаты вершин:

A(-3;0), C(3;0) – действительные вершины

B(0;2), D(0;-2) – мнимые вершины

- координаты фокусов:

4 Составим уравнения асимптот по формулам (4.4)

.

Выполним построение ( выполнить все этапы построения в одной системе координат) (рис.30)

1 этап – построить «основной» прямоугольник, по координатам вершин

2 этап – провести асимптоты ( диагонали прямоугольника)

3 этап – поострить гиперболу

Рис.30

Задача 28 Построить гиперболу . Найти координаты вершин и фокусов. Составить уравнение асимптот.

Решение

1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 225, получим

2 Найдем полуоси гиперболы

.

3 Координаты вершин:

A(-5;0), C(5;0) – мнимые вершины

B(0;3), D(0;-3) – действительные вершины

4 Уравнения асимптот:

Выполним построение (рис.13)

Рис.31

4.7 Основные элементы гиперболы

4.7.1 Эксцентриситет гиперболы

Э ксцентриситетом гиперболы называется отношение полуфокального расстояния к действительной полуоси и обозначается .

Если (F₁,F₂) ОХ, то (4.6)

если (F₁,F₂) ОУ, то (4.6.1)