4.3.3 Изменение координат точек гиперболы (форма гиперболы)

Для того, чтобы установить пределы изменения координат точек гиперболы разрешим уравнение (4.1) относительно x и y, получим:

Так как гипербола симметричная кривая (см. «Симметрия гиперболы»), то исследование можно провести и построить гиперболу только в I четверти, т.е. на интервале ,а затем симметрично отобразить.

Найдем область определения функции:

, откуда или

Раскроем знак модуля, получим:

Вывод. Абсциссы точек гиперболы меняются от до –а и от а до .

Найдем область определения функции:

- любое

Вывод. Гипербола располагается в полуплоскостях правее прямой и левее (рис.23)

Рис.23

4. Асимптоты гиперболы

Прямая , к которой приближается как угодно близко точка кривой (ветви кривой) при движении ее вдоль кривой к бесконечности, называется асимптотой гиперболы.

Обратимся к диагоналям прямоугольника MNKL, составим уравнение прямой OK (рис.22):

Для составления уравнения прямой воспользуемся уравнением «пучка» , тогда .

Запишем уравнение прямой в общем виде:

Рис.24

Найдем расстояние от точки гиперболы до прямой OK, используя формулу вычисления расстояния от точки до прямой.

Помножим числитель и знаменатель дроби на , получим

Так как M₀(x₀, y₀) – точки гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы (1), тогда (См. «Вывод уравнения гиперболы»), тогда:

Из полученной формулы следует, что если двигается по гиперболе так, что ее абсцисса x₀ неограниченно возрастает (значит возрастает знаменатель дроби), то ее расстояние до прямой неограниченно убывает, то есть - асимптота гиперболы.

То же обстоятельство будет иметь место при движении точки M по гиперболе в третьей четверти (вследствие симметрии относительно начала координат).

Наконец, вследствие симметрии гиперболы относительно оси OY мы получим вторую прямую , симметрично расположенную с прямой , к которой также будет неограниченно приближаться точка M при движении по гиперболе и удалении в бесконечность (во второй и четвертой четвертях).

Эти две прямые носят название асимптоты гиперболы (рис 25).

Уравнения асимптот гиперболы:

(4.4)

Рис.25

Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям «основного» прямоугольника гиперболы, одна сторона которого параллельна оси OX и равна 2a, другая – параллельна оси OY и равна 2b, а центр лежит в начале координат.

При построении гиперболы по ее уравнению нужно предварительно построить ее асимптоты.

Выполним построение гиперболы (рис.26)

Рис.26

Аналогично можно провести исследование уравнения (4.2)

и построить гиперболу (рис.27)

Рис.27