4.3 Исследование канонического уравнения гиперболы

4.3.1 Симметрия гиперболы

Так как уравнение (4.1) содержит только квадраты текущих координат, то если точка (x, y) находиться на гиперболе, то и точки находится на гиперболе при произвольном выборе знаков у координат; следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы.

Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии – центр симметрии – называется центром гиперболы.

Для гиперболы, заданной уравнением (4.1), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центром является начало координат.

4.3.2 Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения с осью ОХ. Решим систему уравнений:

, откуда и

Точки A(-a;0) и C(a;0) являются вершинами гиперболы; расстояние между ними равно 2a.

Найдем точки пересечения с осью OY.

Решим систему уравнений:

откуда , то есть для y мы получим мнимые значения; это означает, что гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 20

В соответствии с этим ось OX, которую гипербола пересекает, называется действительной осью симметрии (фокальной осью). Ось OY, которую гипербола не пересекает, называется мнимой осью симметрии. Точки А и С называются действительными вершинами гиперболы. Отрезок AC, соединяющий вершины, а также его длина 2а называются действительной осью гиперболы.

Если на мнимой оси симметрии гиперболы отложить в обе стороны от ее центра O отрезки OB и OD длиною b, то отрезок BD, а также его длина 2b называются мнимой осью гиперболы. Точки B(0; b) и D(0; -b) соответственно мнимыми вершинами.

Величины a, b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы (рис.20) .

Замечание. Фокусы гиперболы F₁ и F₂ лежат на одной оси координат вместе с действительной осью. Говорят, что действительная ось лежит на фокальной оси.

Если действительная ось лежит на оси OY, то и фокусы F₁(0;-c), F₂(0;c) лежат на оси OY, тогда отрезок BD, а также его длина 2b , называются действительной осью. Отрезок AC, а также его длина 2a, называются мнимой осью (рис.21).

Рис.21

Построим прямоугольник MNKL со сторонами |MN|=2b, |NK|=2a (рис.22).

Рис.22

Прямоугольник MNKL со сторонами будем называть «основным» прямоугольником гиперболы (при построении гиперболы строится обязательно).

Если фокусы гиперболы лежат на оси OY, то гипербола задается уравнением:

(4.2)

или

Знак минус («-») стоит перед слагаемым, содержащим мнимую полуось.

По определению гиперболы , то есть фокусы гиперболы лежат правее и левее вершин на ее действительной оси.

Из вывода уравнения гиперболы имеем зависимость между полуосями и полуфокальным расстоянием гиперболы, откуда можно получить формулы:

(4.3)

(4.3.1)

(4.3.2)

Формулы 4.3,4.3.1, 4.3.2 справедливы как для гиперболы, заданной уравнением (4.1), так и для гиперболы, заданной уравнением (4.2).