4. Гипербола. Уравнения гиперболы. Исследование уравнения гиперболы

4.1 Определение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами (F₁, F₂) есть величина постоянная равная 2a, меньшая расстояния между фокусами (2c).

4.2 Каноническое уравнение гиперболы

Для составления уравнения гиперболы воспользуемся общей структурой составления уравнения линии на плоскости.

1 Обратимся к определению гиперболы. Оно определяет гиперболу как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенным условиям.

2 Рассмотрим гиперболу в декартовой системе координат таким образом, что

(F₁, F₂) OX. Точка (0; 0) делит отрезок F₁F₂ пополам. |F₁, F₂| - фокальное расстояние, |F₁, F₂|=2с, тогда координаты точек F₁ и F₂ будут соответственно (-c;0) и (c;0) (рис.19).

Рис.19

3 Возьмем на гиперболе произвольную точку M (x, y).

4 Составим математическую модель задачи. Исходя из условий, определяющих гиперболу (см. «Определение гиперболы») имеем:

||F₁M|-|F₂M||=2a (*)

5 Запишем, полученное уравнение (*) в координатной форме.

Выразим длины отрезков F₁M и F₂M по формуле расстояния между двумя точками:

Подставим полученные значения в уравнение (*):

(**)

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.

Расстояния F₁M и F₂M называются фокальными радуисами и обозначаются соответственно r₁ и r₂. Из уравнения (2) имеем:

Упростим полученное уравнение (**).

Раскроем модуль:

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, получим:

Возведем в квадрат обе части, получим:

Перенесем слагаемые, не содержащие квадратный корень в левую часть

Приведем подобные слагаемые

Сократим на 4 обе части уравнения, получим

Возведем снова в квадрат, получим:

слагаемые с х и у перенесем в правую часть, свободные члены в левую

Приведем подобные слагаемые, общие множители вынесем за скобки

Так как по условиям, определяющим гиперболу , то положительная величина; ее принято обозначать через b², то есть .

Подставим в уравнение (***), получим

Разделив обе части на a²b², получим:

(4.1)

где положено

Уравнение (4.1) называют каноническим уравнением гиперболы.