Методический материал для решения практических работ по предмету 13

«Математическое моделирование»

Практическая работа №2 графический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задач линейного программирования и применяется, в основном, при решении задач двухмерного пространства и иногда - трехмерного.

Алгоритм решения:

Областью решения является общее значение всех полуплоскостей. Для нахождения оптимального решения строим вектор с координатами значений целевой функции. Проводим вектор и перпендикулярно ему двигаемся, пока последняя точка области решения не коснется этого перпендикуляра.

Практическая работа №3 решение математических задач симплексным методом.

Постановка задачи:

Есть 3 вида станков А₁, А₂, А₃. На этих станках последовательно обрабатываются детали 4-х видов В₁, В₂, В₃, В₄. Все данные известны. Требуется найти оптимальный план работы станков. Сколько деталей и каких видов нужно выпустить чтобы получить максимальную прибыль.

Алгоритм:

1. Приводим неравенства к равенствам введением дополнительных неизвестных. Переписываем уравнения со всеми неизвестными. (Такая система называется симплексной, т.е. задачу приводим к стандартной симплексной модели).

2. Составляем симплекс таблицу по следующим правилам:

• Коэффициенты при неизвестных из целевой функции,

• Номера неизвестных,

• Коэффициенты при неизвестных в системе ограничений,

• Номера неизвестных входящих в текущий план, первоначальные номера дополнительных неизвестных,

• Коэффициенты целевой функции входящие в текущий план,

• Значение целевой функции входящие в текущий план (сумма произведений первого и третьего столбца),

• Целевая строка (вычитается сумма произведений первого столбца на i, минус первая строка),

• Сумма всех элементов (от третьего столбца до последнего неизвестного),

• Дополнительный столбец α (делением третьего столбца на ключевой столбец).

3. Задача считается решенной, когда в целевой строке все значения положительные (на максимум), все значения отрицательные (на минимум). Если план не оптимален, то его необходимо улучшить путем итерации. Для этого составляем еще одну таблицу.

4. В целевой строке выбираем минимальное значение (при решении на максимум) и, наоборот (на минимум) и этот столбец называем ключевым. Делим итоговый столбец на ключевой, выбираем минимальное значение (не отрицательное и не равное нулю), и эту строку делаем ключевой. Элемент на пересечении ключевого столбца и ключевой строки – ключевым элементом.

Новое значение каждого элемента, кроме ключевой строки, преобразуется по следующему правилу:

Ключевая строка преобразуется делением всех элементов на ключевой элемент.

Решение на каждом этапе 1-й, 2-й, 3-й столбец.

Проверка:

• Сумма по строкам равняется преобразованной сумме,

• Итоговый столбец (3-й) не может быть отрицательным, если он все же получается отрицательным, значит неправильно выбрана ключевая строка,

• Функция от итерации к итерации монотонно возрастает или остается без изменений и, наоборот, на минимум.

Практическая работа №4 решение математических задач симплексным методом с искусственным базисом.

Приводим неравенства к равенствам, введением дополнительных неизвестных (со знаком «–»).

Так как в базисное решение входят элементы положительной единичной матрицы, вводим искусственные переменные (положительные, отсчет от последней отрицательной), а в целевую функцию дополнительные неизвестные всегда с нулем, а искусственные с М, где М неограниченно большое число при решении на минимум и, наоборот, на максимум.

Составляем симплексную таблицу. В опорный план всегда входят коэффициенты единичной матрицы. Далее решаем по алгоритму симплекс метода.