1. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события

A и B независимы, то независимы события A и

Событие А называется независимым от В, если Р_B(А)=Р(А). Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.

А=АВ+А  Р(А)= Р(АВ)+Р(А ). Отсюда Р(А )=Р(А)-P(AB)=P(A)-P(A)*Р(В)=P(A)(1-P(B))=P(A)*P( ).

2. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

Если события H₁, H₂, …, H_n попарно несовместны и при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из этих событий, то для любого события А справедливо равенство:

P(A)= P_H1(A)P(H₁)+ P_H2(A)P(H₂)+…+ P_Hn(A)P(H_n) – формула полной вероятности. При этом H₁, H₂, …, H_n называют гипотезами.

Доказательство: Событие А распадается на варианты: AH₁, AH₂, …, AH_n. (А наступает вместе с H₁ и т.д.) Иначе говоря, имеем А= AH₁+ AH₂+…+ AH_n. Так как H₁, H₂, …, H_n попарно несовместны, то несовместны и события AH₁, AH₂, …, AH_n. Применяя правило сложения, находим: P(А)= P(AH₁)+ P(AH₂)+…+ P(AH_n). Заменив каждое слагаемое P(AH_i) правой части произведением P_Hi(A)P(H_i), получаем требуемое равенство.

Пример:

Допустим, у нас есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найдем вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.

Р(А) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,85.

3. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.

Формула Байеса:

.

Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Доказательство: Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

P(A)= P_H1(A)P(H₁)+ P_H2(A)P(H₂)+…+ P_Hn(A)P(H_n) (1)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

P_A(H₁), P_A(H₂), …, P_A(H_n).

По теореме умножения имеем:

Р(АH_i) = Р(А) Р_A(H_i) = Р(H_i)Р_Hi (А)

Отсюда

Р_A(Hi) =

Заменим здесь Р(А) по формуле (1), получаем

Пример:

Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика.

Решение.

4. Выведите формулу для вероятности k успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли.

Исследуем случай, когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A; }. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P( )=q-1=p .

Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов А и . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз.

Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А – как неуспех. Наша цель – найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B.

Событие В представляется в виде суммы ряда событий – вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть

. Число всех вариантов равно, очевидно, , а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна . Отсюда вероятность события В равна . Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его . Итак, .