46. Обобщение, абстрагирование и конкретизация в обучении математике.

Обобщение – мысленное выделение, фиксация общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.

Абстрагирование – мысленное отвлечение, отделение общих существенных свойств от прочих несущественных, рассмотрение предметов или отношений и отбрасывание последних. Абстрагирование не может осуществляться без обобщения. Они применяются в процессе формирования понятий при переходе от представлений к понятиям. Обобщение – переход от единичного к общему. Конкретизация – переход от общего к единичному. Обобщение используется при формировании понятий, а конкретизация при описании конкретных ситуаций с помощью сформулированных ранее понятий. В математике: обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных чисел переменными, а конкретизация с подстановкой вместо переменных их значений. Конкретизация основана на правиле: из того, что свойством P обладают все произвольные элементы некоторого множества следует, что этим свойством обладает произвольный элемент этого множества.

47. Метод математического моделирования.

Математическая модель – описание какого-либо класса явлений реального мира на языке математики. Метод математического моделирования содержит 3 этапа:

1. построение математической модели объекта

2. исследование полученной модели

3. интерпретация полученного решения с точки зрения исходной задачи.

Требования: модель должна адекватно отражать существенные свойства объекта изучения, модель должна иметь определенную область применимости, модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

Возможны 2 случая: 1. полученная конкретная модель принадлежит уже изученному классу моделей. Задача решается известными методами. 2. эта модель не укладывается ни в одну из известных схем, нужно исследование нового класса моделей.

Обучение должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих моделей, что приводит к расширению теоретических знаний учащихся. После теория применяется к решению исходной задачи и других задач этой области, приводимых к моделям этого же класса. Существует связь с проблемным обучением математике.

48.Применение индукции и дедукции в преподавании математики.

Индукция – метод рассуждения от частного к общему, вывод заключения из частных предпосылок. Используется чаще всего в 5-6 классах, реже в старших. Математическая индукция – специальный метод доказательства предложений, выражающих некоторое свойства P, присущее всем натуральным числам. Если 1 обладает свойством P и для всякого натурального x, обладающего эти свойством верно, что x+1 обладает свойством P. Тогда всякое натуральное число обладает указанным свойством. То есть математическая индукции позволяет заменить бесконечное индуктивное рассуждение конечным дедуктивным. Полная индукция – рассуждение, которым следовало бы завершить доказательство теоремы об измерении вписанного угла, если она доказывается отдельно для случая, когда центр окружности лежит на стороне угла, внутри или вне его. Индукция может привести к ложному заключению. Применение индукции в обучении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Нужно добиваться понимания уч-ся правдоподобного хар-ра индуктивного заключения, поэтому нужно подчеркивать, что заключение является лишь предположением, которое может быть доказано или опровергнуто.

Дедукция – форма мышления, состоящая в том, что новое предположение выводится чисто логическим путем, то есть по определенным правилам логического следования из некоторых известных предположений. Создана Аристотелем. Дедуктивное заключение истинно, по крайней мере тогда, когда истинны все предпосылки. Дедукция обусловлена аксиоматическим методом построения теорий, т.е. некоторое предложение, выражающее основные свойства понятий или отношений между ними, принимают за истинное. Это аксиомы теории. Истина же остального предложения устанавливается с помощью дедуктивных доказательств, т.е. остальные предложения выводятся из аксиом, определений и более ранних доказательств теорем. Вот почему математику называют дедуктивной наукой. Дедукция как метод обучения включает в себя: обучение дедуктивным доказательствам (т.е. обучение процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств), обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений. 3 основных вопроса: Что? Откуда? Как?