Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие ИТУ полное (1).docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.45 Mб
Скачать

4.2 Балансовая модель

Одна из серьезнейших задач, стоящих перед любым управляющим и экономистом - на основе анализа деятельности предприятия за прошлый период осуществить планирование его деятельности в следующем периоде. Рассмотрим задачу планирования производства на примере балансовой модели.

Задание 1

Экономическая система состоит их трех отраслей. Объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период, текущее производственное потребление в отраслях, а также прогнозируемый конечный спрос продукции каждой из трех отраслей приведены в таблице 4.2.1. Определить конечную продукцию каждой из отраслей за предыдущий период и план выпуска продукции в следующем периоде, считая, что технология производства не изменилась.

Таблица 4.2.1

Отрасли

Объемы производства отраслей

Производственное потребление отраслей за предыдущий период

Прогнозируе-мый конечный спрос

1

2

3

1

2

3

600

1000

800

250

150

0

100

500

300

160

0

400

2000

2000

3000

Математическая постановка задачи

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Хi — величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли i;

Хij - количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела Хj единиц своей продукции;

Yj - количество продукции отрасли i, оставшейся для внешнего потребления (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Xi (i= 1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

Х1 = х111213+Y1;

Х2 = х212223+Y2;

Х3 = х313233+Y3.

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологических коэффициентов) аij:

- количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда xij=aijXj и система уравнений будет иметь следующий вид:

Х1 = a11X1+a12X2+a13X3+Y1;

Х2 = a21X1+a22X2+a23X3+Y2;

Х3 = a31X1+a32X2+a33X3+Y3.

Или в матричной форме

X=AX+Y,

где A = - матрица прямых затрат;

Х- вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде X = ;

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде Yc =

Решим уравнение X=AX+Y относительно X:

X-AX=Y,

отсюда,

Х(Е-А)=Y,

где Е - единичная матрица. Из уравнения получаем X=(Е-А)-1Y

Решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X1=600, Х2=1000, Х3= 800 и значения xij (i,j = 1, 2, 3):

х11=250; х12=100; х13=160

х21=150; х22=500; х23=0;

х31=0; х32=300; х33=400.

Отсюда, используя, можно определить значения Yi, i=1,2,3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Y1 =600-250-100-160=90;

Y2 =1000-150-500-0=350;

Y3 =800-0-300-400=100.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден:

Yn =

Для определения вектора выпуска продукции X при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y = надо решить систему уравнений, из которой следует, что

X=(Е-А)-1Y

где Е - единичная матрица

Е =

S=(E-A)-1 - называется матрицей полных затрат.

Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат aij.

a11=250/600=0,417; a12=100/1000=0,1; a13=160/800=0,2

a21=150/600=0,25; a22=500/1000=0,5; a23=0/800=0;

a31=0/600=0; a32=300/1000=0,3; a33=400/800=0,5.

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

А =

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А≥0.

Для того чтобы система уравнений имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А≥0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны:

0,417 + 0,25 + 0 = 0,667;

0,1 + 0,5 + 0,3 = 0,9;

0,2 + 0 + 0,5 = 0,7.

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение X=(Е-А)-1Y имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Xможно воспользоваться формулой X=(Е-А)-1Y.

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу (Е-А):

E-A = - =

Вычисление обратной матрицы (Е-А)-1

Известно, что матрица В-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В×В-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой:

Здесь [Bij] - матрица, полученная из элементов Bij, a Bij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы.

Вij=(-1) i+jMij

где Мij - минор элемента Bij (минор - это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А=В:

B11 = (-1)1+1 = 0,25

B12 = (-1)1+2 = 0,125

B13 = (-1)1+3 = 0,075

B21 = (-1)2+1 = 0,11

B22 = (-1)2+2 = 0,292

B23 = (-1)2+3 = 0,075

B31 = (-1)3+1 = 0,1

B32 = (-1)3+2 = 0,05

B33 = (-1)3+3 = 0,267

Таким образом, [E-A] = [Bij] =

Вычисление транспонированной матрицы

Поменяв в матрице [Е-А] строки и столбцы местами, получаем:

[E-A]T = [Bij] T=

Вычисление определителя матрицы [Е-А]

Вычислим определитель, применив разложение по первой строке

det(Е-А)= 0,583× - (-0,1)× - (-0,2)× = 0,018

Вычисление матрицы прямых затрат S

По формуле S=(E-A)-1 = = =

=

Определение вектора выпуска продукции X

Зная S и Y, вычислим Х по формуле:

Х = S×Y = ×

Отсюда

Х1 = 2,113 × 2000 + 0,93 × 2000 + 0,845 × 3000 = 8620;

Х2 = 1,056 × 2000 + 2,465 × 2000 + 0,423 × 3000 = 8310;

Х3 = 0,634 × 2000 + 1,479 × 2000 + 2,254 × 3000 = 10986.

Таким образом, вектор выпуска продукции в следующем периоде при заданном векторе конечной продукции

Yc = Х =

Очевидно, что с использованием матричных операций в Excel процедура вычислений в балансовой модели существенно упростится.

Реализация балансовой модели в электронной таблице Excel показана в табл. 4.2.2 (режим показа формул) и в табл. 4.2.3 (режим вычислений).

Таблица 4.2.2

A

B

C

D

1

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

2

Объём производства

Потребление отраслей

3

600

250

100

160

4

1000

150

500

0

5

800

0

300

400

6

Вычисление технологических коэффициентов

=B3/A$3

=C3/A$4

=D3/A$5

7

=B4/A$3

=C4/A$4

=D4/A$5

8

=B5/A$3

=C5/A$4

=D5/A$5

9

Проверка продуктивности матрицы А

10

 

=СУММ(B6:B8)

=СУММ(C6:C8)

=СУММ(D6:D8)

11

=ИЛИ(B10>=1;C10>=1;D10>=1)

=ЕСЛИ(A11="ИСТИНА";"Решения нет"; "Матрица продуктивна")

12

Единичная матрица

1

0

0

13

0

1

0

14

0

0

1

15

Вычисление Е-А

=B12-B6

=C12-C6

=D12-D6

16

=B13-B7

=C13-C7

=D13-D7

17

=B14-B8

=C14-C8

=D14-D8

18

Вычисление обратной матрицы

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

19

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

20

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

=МОБР(B15:D17)

21

Спрос на будущий период

2000

План выпуска продукции

=МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)

22

2000

=МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)

23

3000

=МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)

В строке 11 размещены формулы для проверки продуктивности матрицы технологических коэффициентов.

В ячейке А11 формула

=ИЛИ(B10>=l;C10>=l;D10>=l)

проверяет содержимое ячеек B10:D10. Если хотя бы в одной из этих ячеек значение больше единицы (т.е. сумма значений элементов хотя бы в одном столбце превышает единицу), то в ячейку А11 будет записано значение «ИСТИНА». В противном случае - значение «ЛОЖЬ»;

В ячейку С11 введена формула

=ЕСЛИ(А11="ИСТИНА";"Нет решения";"Матрица продуктивна")

Эта формула проверяет содержимое ячейки А11 и если сумма элементов хотя бы одного столбца превысила единицу, выводит сообщение "Нет решения", в противном случае - "Матрица продуктивна".

Таблица 4.2.3

А

В

С

D

1

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

2

Объём производства

Потребление отраслей

3

600

250

100

160

4

1000

150

500

0

5

800

0

300

400

6

Вычисление технологических коэффициентов

0,417

0,1

0,2

7

0,25

0,5

0

8

0

0,3

0,5

9

Проверка продуктивности матрицы А

10

0,667

0,900

0,700

11

ЛОЖЬ

Матрица продуктивна

12

Единичная матрица

1

0

0

13

0

1

0

14

0

0

1

15

Вычисление Е-А

0,583

-0,1

-0,2

16

-0,25

0,5

0

17

0

-0,3

0,5

18

Вычисление обратной матрицы

2,113

0,930

0,845

19

1,056

2,465

0,423

20

0,634

1,479

2,254

21

Спрос на будущий период

2000

План выпуска продукции

8619,72

22

2000

8309,86

23

3000

10985,92