Розв’язок

Оскільки зображення вихідного сигналу є дробово-раціональною функцією змінної р, то оригінал зручно визначати за допомогою теореми розкладання.

Визначаємо корені знаменника D(p), для чого розв’язуємо рівняння третьої степені

. (5.155)

Розв’язання рівняння дає такі корені

. (5.156)

Похідна від знаменника матиме вигляд

. (5.157)

Оригінал зображення (5.68), тобто вихідний сигнал пристрою як функція часу відповідно до теореми розкладання матиме вигляд

. (5.158)

Враховуючи те, що р3=0, вираз (5.158) можна спростити

. (5.159)

Властивості перетворення Лапласа. Інтегральне перетворення Лапласа має такі властивості.

1. Лінійність

. (5.160)

2. Зображення похідної функції

. (5.161)

3. Оригінал похідної зображення

. (5.162)

4. Зображення інтеграла від функції

. (5.163)

5. Оригінал інтеграла від зображення

. (5.164)

6. Зображення зміщеної у часі функції (теорема запізнення)

. (5.165)

7. Оригінал зміщеного зображення

. (5.166)

8. Зображення згортки функцій

. (5.167)

9. Початкове значення функції

. (5.168)

10. Значення функції у нескінченно далекому майбутньому (усталене значення функції)

. (5.169)

Зображення напруги на резистивному, індуктивному і ємнісному елементах. Користуючись наведеними вище співвідношення, виведемо зображення неперіодичної змінної напруги на елементах кола.

Залежність між миттєвими значеннями напруги і струму не елементах кола має вигляд:

для резистивного елемента

; (5.170)

для індуктивного елемента

; (5.171)

для ємнісного елемента

. (5.172)

Зображення напруги на резистивному елементі легко знайти, скориставшись властивістю лінійності (5.160) інтегрального перетворення Лапласа

. (5.173)

Користуючись залежністю (5.161) між зображенням похідної функції і самої функції, знаходимо зображення напруги на індуктивному елементі

. (5.174)

Зображення напруги на ємнісному елементі можна знайти, якщо використати співвідношення (5.163) між зображенням функції і інтеграла від цієї функції

. (5.175)

Операторні опори елементів. У формулах (5.173), (5.174), (5.175) множники при операторних струмах можна трактувати як опори, які дістали назву операторні опори. Операторним опором Z(p) елемента кола називають відношення операторної напруги U(p) на елементі до операторного струму I(p)

за нульових початкових значеннях струму в індуктивному і напруги на ємнісному елементах.

Умовне графічне зображення операторних опорів елементів наведено у табл.1.

Таким чином, елементи електричних кіл мають такі операторні опори:

резистивний елемент

; (5.176)

індуктивний елемент

; (5.177)

ємнісний елемент

. (5.178)

Операторні електрорушійні сили внутрішніх джерел енергії. У зображенні напруги на реактивних елементах (5.174, 5.175) входять доданки L∙i_L(0) та u_C(0)/p, що не залежать від струму і тому їх можна трактувати як зображення електрорушійних сил внутрішніх джерел енергії реактивних елементів, тобто

. (5.179)

Внутрішні джерела енергії обумовлені здатністю реактивних елементів накопичувати енергію і віддавати її назад.

Зображення струму в резистивному, індуктивному і ємнісному елементах. Залежність між миттєвими значеннями струму і напруги на елементах кола має вигляд:

для резистивного елемента

; (5.180)

для індуктивного елемента

; (5.181)

для ємнісного елемента

. (5.182)

Зображення струму у резистивному елементі знайдемо, застосувавши властивість лінійності (5.160) інтегрального перетворення Лапласа

. (5.183)

Зображення струму в індуктивному елементі визначаємо скориставшись властивістю (5.163) про зображення інтеграла від функції

. (5.184)

Таблиця 5.1
Елементи електричного кола	Операторні схеми заміщення
	Послідовна	Паралельна

Зображення напруги на ємнісному елементі можна знайти, якщо використати співвідношення (5.161) між зображенням функції і похідної від цієї функції

. (5.185)

Операторні провідності елементів. У зображенні струмів в елементах кола є множники перед зображенням напруги, які можна трактувати як зображення провідностей елементів. Операторною провідністю Y(p) елемента кола називають відношення операторного струму I(p) до операторної напруги U(p), тобто

. (5.186)

за нульових початкових значеннях струму в індуктивному і напруги на ємнісному елементах.

Елементи електричних кіл, як випливає з аналізу співвідношень (5.183), (5.184), (5.185) між зображеннями струмів і напруг, мають такі операторні провідності:

резистивний елемент ; (5.187)

індуктивний елемент ; (5.188)

ємнісний елемент . (5.189)

Операторні струми внутрішніх джерел енергії. Зображенні струму в реактивних елементах (5.184, 5.185) містить доданки C∙u_C(0) та i_L(0)/p, що не залежать від напруги і тому їх можна трактувати як операторні струми внутрішніх джерел енергії реактивних елементів, тобто

. (5.190)

Внутрішні джерела енергії обумовлені здатністю реактивних елементів накопичувати енергію і віддавати її назад.

Операторні схеми заміщення елементів кола. Зображення напруги (5.173), (5.174), (5.175) і струму (5.183), (5.184), (5.185) на елементах кола дає підставу для введення операторних схем заміщення елементів, наведених у табл. 5.1.

Як випливає із співвідношень (5.173), (5.174), (5.175), (5.183), (5.184), (5.185) і табл. 5.1, операторні схеми заміщення реактивних елементів, крім операторних опорів, містять джерела енергії, обумовлені здатністю реактивних елементів накопичувати енергію і віддавати її назад у коло.

Якщо всі елементи електричного кола замінити їх операторними схемами заміщення, то отримаємо операторну схему заміщення електричного кола у цілому. На рис. 5.13, а як приклад наведена схема електричного кола неперіодичного змінного струму, у якому діють джерела неперіодичної напруги e₁(t) і струму j₁(t). Операторна схема заміщення цього кола наведена на рис. 5.13 б.

Закон Ома в операторній формі. На рис. 5.14, а зображена вітка електричного кола неперіодичного змінного струму. Миттєве значення напруги між вузлами описується диференціальним рівнянням

. (5.191)

Перетворення Лапласа диференціального рівняння (5.191) зведе його до алгебраїчного рівняння

. (5.192)

Рівнянню (5.192) відповідає операторна схема заміщення вітки кола, наведена на рис. 5.14, б.

Р

а)

б)

Рис. 5.14

озв’яжемо рівняння (5.192) відносно струму

. (5.193)

Співвідношення (5.193) називається законом Ома в операторній формі.

Вираз

(5.194)

у знаменнику правої частини (5.65) називається операторним опором вітки електричного кола.

Перший закон Кірхгофа в операторній формі. Для довільного вузла електричного кола, наприклад вузла 2 (рис. 5.14, а), алгебраїчна сума миттєвих значень струмів віток дорівнює нулю

. (5.195)

Застосувавши до рівняння (5.195) перетворення Лапласа, отримаємо рівняння

. (5.196)

Рівняння (5.196) називається першим законом Кірхгофа в операторній формі.

У загальному випадку перший закон Кірхгофа в операторній формі має вигляд

. (5.197)

Другий закон Кірхгофа в операторній формі. Для довільного замкнутого контуру електричного кола (рис. 5.15 а) алгебраїчна сума миттєвих значень напруг на елементах контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил

. (5.198)

Якщо до рівняння (5.198) застосувати перетворення Лапласа, то отримаємо

.(5.199)

Рівняння (5.199) є математичним виразом другого закону Кірхгофа у символічній формі. Йому відповідає операторна схема заміщення, наведена на рис. 5.15, б.

У загальному вигляді другий закон Кірхгофа у символічній формі можна записати так

. (5.200)

У праву частину рівняння (5.200) входять зображення як зовнішніх, так і внутрішніх електрорушійних сил.

а) б)

Рис. 5.15

Операторна передаточна функція. Якщо у вітці m операторної схеми заміщення діє електрорушійна сила, що має зображення E_m(p), то зображення струму I_n(p) чи напруги U_n(p) у вітці n зв’язане з E_m(p)лінійним співвідношенням

(5.201)

Функції G_mn(p), K_mn(p) називаються операторними передаточними функціями, відповідно, за струмом і за напругою. Операторна передаточна функція за струмом G_mn(p) має розмірність провідності і ще називається операторною передаточною провідністю, а операторна передаточна функція за напругою K_mn(p) — безрозмірна і інколи називається коефіцієнтом передачі напруги.

Операторні передаточні функції G_mn(p) і K_mn(p) визначаються за операторними схемами заміщення заданого електричного кола за формулами

(5.202)

де Y_n(р) — операторна провідність n-ої вітки;

_mm, _mn — алгебраїчні доповнення матриці вузлових провідностей , які визначаються формулами

(5.203)

M_mm, M_mn — мінори, тобто визначники, які отримують із визначника матриці вузлових провідностей , якщо викреслити для мінора M_mm m-ий рядок і m-ий стовпчик, а для мінора M_mn m-ий рядок і n-ий стовпчик.

Матриця вузлових провідностей — це матриця, діагональні елементи Y_mm(p) якої є власними операторними провідностями m-ого вузла, а недіагональні елементи Y_mn(p) якої є взаємними операторними провідностями m-ого і n-ого вузлів.

а) б) в)

Рис. 5.16

Приклад 5.3. Визначити операторні передаточні функції для напруги на ємності та струму в індуктивності електричного кола змінного неперіодичного струму, схема якого наведена на рис. 5.16, а. Параметри елементів кола мають такі значення: U₀=1.5 V; R₁=1.0 k; R₂=1.1 k; R₃=1.2 k; R₄=1.3 k; L₁=1.0 mH; C₁=1.0 F.