33. Основные приемы решения прямой задачи методов сопротивления в неоднородных средах.

Методами сопротивлений решают задачи для точечных, дипольных или линейных источников.

МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД:

1) одномерные - св-ва меняются в одном направлении (вертик. контакты двух сред).

2) двухмерные - св-ва меняются в двух направлениях (наклонные пласты).

3) трехмерные.

СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА, КРАЕВЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Потенциал U связан с напряженностью поля отношением E= - gradU (вытекает из урав. Максвелла rot E=0). Из этого урав. получают уравнение Лапласа deltaU=0.

Оно должно удовлетворять:

а) краевым условиям - потенциал в бесконечно удаленных точках должен =0, а вблизи источника: интеграл по s j n *ds -> I

б) граничным условиям - потенциал и нормальная составляющая плотности тока д.б. непрерывны при переходе через границу раздела сред с разной УЭП: U1=U2, gamma1*dU1/dn = gamma2*dU2/dn.

Для неоднородных сред: div[gamma*gradU]=gradgamma*gradU+gamma*deltaU=-I*delta(x-x0)*delta(y-y0)*delta(z-z0), delta - русская прописная б

СПОСОБ ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (ЗО).

Пусть точечный источник поля, питаемый током I, находится на поверхности земли в точке А на расстоянии d от плоского вертик. контакта двух сред с сопротивлениями po1 и po2.

Сущность метода - рассчитывают поле в точке М, кот-ое расположено в первой среде.

Расчет поля в первой среде: Искажающее влияние второй среды заменяют полем дополнительного источника в точке А.

Расчет поля во второй среде: искажающее влияние первой среды заменяют полем дополнительного источника в точке A. Т.о.:

U1 = po1*I/2*пи * l/r + po1*I`/2*пи * l/r` - потенциал в 1-ой среде. Доп. источник питается током I`, где r = корень из (x^2+y^2+z^2), r`= корень из ((2*d-x)^+ y^2+z^2))

U2 = po2*I``/2*пи * l/r`` - потенциал в 2-ой среде. Доп. источник питается током I``.

Если I` и I`` подобрать так, чтобы выполнялись граничные условия, то выражения U1 и U2 являются решениями данной задачи.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОД ФУРЬЕ). На поверхности ГСС с УЭС ро1, ро2, ро3 и мощностями слоев h1, h2, h3 расположен точечный источник А, питаемый постоянным током силой I.

Потенциальные ф-ии U1, U2, U3 - это интеграл уравн. Лапласа: d^2U/dr^2 + 1/r*dU/dr + d^U/dz^2=0.

Потенц. ф-ии должны удовлетворять граничным условиям:

1) для верхнего слоя: U1 = I*po1/2*пи * 1/корень из (r^2+z^2) + U1`(r,z)

U1`(r,z) - конечна и = 0 вблизи источника и в бесконечно удаленных зонах.

2) на границе раздела Земля-Воздух норм. составляющая плотности тока = 0: dU1/dz=0

3) все ф-ии U1, U2, U3 конечны и равны 0 в бесконечно удаленных зонах.

4) должны выполняться граничные условия: Ui = U i+1, 1/po I * dUi/dz = 1/po i+1 * dU i+1 /dz

Используя метод разделения переменных (м. Фурье), считают, что U(r,z) = u(r)*v(z). Сделав преобразования, получим:

U1(r,z) = 0 интеграл бесконечность (Аi*e^-m*z + Bi*e^m*z)* J0*(mr)dm

Переходя к Un, учтем, что z в последнем слое может достигнуть бесконечно больших значений, поэтому положим, что Bn=0. Тогда:

Un(r,z) = 0 интеграл бесконечность Аn*e^-m*z * J0*(mr)dm, где J0*(mr) - функция Бесселя 0-порядка, m - переменная интегрирования, Аn = const