§ 24. Физические основы индукционных .Методов

Индукционные методы применяются для исследования вто­ричного электромагнитного поля среды, э.д.с. которого прямо пропорциональна электропроводности горных пород. Вторичное электромагнитное поле возникает в окружающей среде за счет вихревых токов, которые индуцированы катушкой, питающейся от помещенного в скважину генератора переменного тока.

Индукционные методы принципиально отличаются от всех методов стационарного и квазнстацнонарного электрических полей прежде всего тем, что для создания вторичного электро­магнитного поля в горных породах не требуется непосредствен­ного (гальванического) контакта зондовой установки с окру­жающей средой. Если в методах КС, СЗ, ТМ и ВГ1 электри­ческий ток распространяется в горные породы от токовых электродов через слой проводящей жидкости (промывочной), то в индукционных методах электроды как таковые не исполь­зуются, и вторичное электромагнитное поле формируется в гор­ных породах за счет индуктивной связи первичного электромаг­нитного поля со средой, окружающей зонд. Следовательно, ин­дукционные методы позволяют изучать разрезы скважин, про­буренных с обычной промывочной жидкостью и с промывочной жидкостью на нефтяной или другой основе, плохо проводящей электрический ток.

Индукционные методы отличаются также характером рас­пределения вторичных токов, индуцированных генераторной ка­тушкой в горных породах: их токовые линии лежат в плоско­стях, перпендикулярных к оси генераторной катушки. В одно­родной среде линии вихревых токов представляют собой

окружности с центрами на оси прибора. При таком распреде­лении токовых линий можно более точно определить истинное удельное сопротивление пластов, а влияние электропроводности вмещающих пород на показания индукционных методов су­щественно уменьшается.

Простейший зонд индукционного метода может быть состав­лен из двух катушек (генераторной и измерительной), опущен­ных в скважину. Расстояние между серединами генераторной и измерительной катушек есть длина ¿_и индукционного зонда. Генераторная катушка зонда подключена к генератору пере­менного тока ультразвуковой частоты 20—60 кГц и питается стабилизированным по частоте и амплитуде током. Измери­тельная катушка зонда через усилитель и фазочувствительный элемент подключена посредством кабеля к регистрирующему прибору, расположенному на поверхности. Переменный ток, протекающий по генераторной катушке, создает переменное магнитное поле (прямое и первичное), которое, в свою очередь, индуцирует в среде, окружающей зонд, вихревые токи, форми­рующие вторичное переменное магнитное поле той же частоты, что п первичное.

Первичное и вторичное переменные магнитные поля инду­цируют э.д.с. в измерительной катушке. Непосредственное воз­действие первичного поля на приемную катушку не связано с горными породами, поэтому э.д.с., индуцированная прямым полем, компенсируется встречной э.д.с., равной первой по вели­чине и противоположной но фазе, с помощью дополнительных катушек или специальных электронных устройств.

Электродвижущая сила, генерируемая вторичным полем в измерительной катушке, состоит из двух составляющих — ак­тивной и реактивной. Регистрирующим прибором фиксируется сигнал активной составляющей э.д.с., наиболее тесно связанной с электропроводностью окружающей среды.

В случае низкой проводимости среды э.д.с. активной состав­ляющей прямо пропорциональна ее электропроводности. С ро­стом электропроводности среды э.д.с. активного сигнала увели­чивается медленнее и по более сложному закону. Нарушение пропорциональности между активным сигналом и электропро­водностью среды связано с взаимодействием вихревых токов. Это явление называется ски н-эффектом. Чем выше ча­стота тока и электропроводность среды, тем значительнее вза­имодействие вихревых токов и, следовательно, существеннее влияние скин-эффекта на показания индукционного метода.

Активный сигнал фиксируется на поверхности измеритель­ным устройством в виде кривой, отражающей изменение элек­тропроводности пород по разрезу скважниы. Точкой записи кривой является середина расстояния между центрами генера­торной и измерительной катушек. Единицей измерения электро­проводности пород является сименс на метр (См/м) — вели­чина. обратная ом-метру (Ом*м). На практике используют ты­сячную долю сименса на метр—миллисименс на метр (мСм/м).

В индукционных методах измеряется эффективная удельная электропроводность а_Эф, зависящая от проводимостей пласта, промывочной жидкости, зоны проникновения фильтрата промы­вочной жидкости, вмещающих пород, от диаметра скважины, мощности пласта, а также размера и конструкции зонда. В связи с этим эффективная электропроводность в общем слу­чае отличается от истинной удельной электропроводности изу­чаемого пласта ог_ял.

Приближенная теория низкочастотных индукционных методов

Решение прямой задачи индукционных методов состоит в по­лучении зависимости измеряемой э.д.с. электромагнитного поля от электропроводности среды, ее геометрии и параметров зонда.

Приближенная теория низкочастотного индукционного ме­тода впервые была разработана X. Г. Доллем в 1949 г., затем получила развитие в работах С. М. Аксельрода, Ю. И. Анто­нова [5] и других исследователей [4].

В основе приближенной теории Долля лежат два допуще­ния: 1) все индуцированные в окружающей среде вихревые токи имеют одну и ту же фазу, сдвинутую относительно фазы тока в генераторной катушке на 90°; это означает, что взаимо­действие вихревых гоков отсутствует, т. е. при решении прямой задачи явление скин-эффекта не принимается во внимание;

2. амплитуда плотности тока в любой точке среды рассчиты­вается по упрощенной формуле и определяется только прост­ранственным фактором и удельной электропроводностью уча­стка среды. Эти допущения справедливы лишь тогда, когда ча­стота тока питания и электропроводность среды сравнительно невелики. При высокой частоте тока или большой электропро­водности пород явление скин-эффекта существенно изменяет ха­рактер распространения электромагнитного поля, и в этом слу­чае при решении прямой задачи необходимо использовать стро­гую теорию.

Приближенная теория низкочастотных индукционных мето­дов позволяет сравнительно просто установить зависимость эф­фективной удельной электропроводности изучаемого простран­ства от электропроводности отдельных сред, их размеров и по­ложения относительно индукционного зонда, а также наглядно представить физическую сущность этого метода. С помощью приближенной теории можно путем элементарных расчетов ре­шить прямую задачу описываемых методов для плоских и ци­линдрических поверхностей раздела между средами. Формулы, полученные на основании этой теории, следует рассматривать как асимптотические, справедливые при электромагнитных вол­нах, очень длинных по сравнению с радиусом скважины, мощ­ностью пласта и диаметром зоны проникновения фильтрата промывочной жидкости [4].

Итак, имеем однородную изотропную среду удельной элек­тропроводности сг, абсолютной диэлектрической проницаемости е_а и магнитной проницаемости ц_а. На оси скважины располо­жен двухкатушечный индукционный зонд. Диаметр скважины Центры генераторной и измерительной катушек располо­жены на обшей оси на расстоянии 1_И одна от другой. Ось ге­нераторной катушки совпадает с осью скважины (рис. 56). Ге­нераторная и измерительная катушки имеют соответственно вы­соты /_г и /_п, число витков я_г и п_п, радиусы которых г_г и гпло­щади каждого витка 5_г = лг£, $_п = яг£; общие площади вит­ков $_гя_г=5_г и 5пП_п = 3_п. Условимся считать, что размеры кату­шек значительно меньше расстояния т. с.(/_г, г_г, г„)

Это допущение позволяет рассматривать катушки как точеч­ные. Генераторную катушку можно заменить для упрощения расчетов магнитным диполем с переменным моментом.

Генераторная катушка питается переменным током с ам­плитудой /_а, мгновенное значение которого

/ = /_аехр(—I сот), (67)

_где х — время; (о=2л/—угловая частота; / — циклическая ча­стота.

У

2

Рис. 56. Схема индукционного зон­да с элементарным витком ТГК.

ПК — генераторная и приемная катушки; Т — элементарное кольцо (тороид); Г — генератор: У — усилитель

помянутый выше магнитный диполь, ось которого совпа­дает с осью генераторной катушки, создает в окружающем про­странстве электромагнитное поле. Необходимо определить ве­личину э.д.с., которая наводится вихревыми токами в изучае­мой среде, и установить связь между наведенной э.д.с. и удель­ной электропроводностью од­нородной среды, частотой по­ля и параметрами зонда.

Для решения задачи вве­дем цилиндрическую систе­му координат г г\$, начало которой расположим в точ­ке О, являющейся середи­ной расстояния между цент­рами генераторной и измери­тельной катушек. Разобьем все изучаемое пространство на элементарные тороиды, представляющие собой участ­ки породы с горизонтальными поверхностями. Единичный то- ронд — это горизонтальное кольцо радиуса г_к с центром на оси скважины (см. рис. 56).

Он назван X. Г. Доллем эле­ментарным кольцо м.

С учетом (67) магнитный момент магнитного диполя

М = Л А-/ = Лг$г/а ехр (— / сот). (68)

Магнитный диполь создает в окружающем пространстве магнитное поле напряженностью

Н = М/2 л 1_Г³. (69)

или, принимая во внимание (68),

Н = ^П^г/аСХр( — I <|)Т)

2

где ¿г—расстояние от центра генераторной катушки до рас­сматриваемой точки среды.

Как известно, величина магнитного потока, пронизывающего замкнутую поверхность,

Ф =* ф В соб ф (71)

где В ц₀цН = Н -вектор магнитной индукции; ф — угол между нормалью к элементарной площадке и силовыми ли­ниями магнитного ноля; Л?—площадь сечения элементарной площадки.

Для элементарного кольца с радиусом г_к, площадь которого магнитные силовые линии пересекают иод углом 9(Г(ф = 0), формула (71) имеет вид

^гк

Ф= 5 »,//,2 л гс1г. (72)

О

(Н_г — вертикальная компонента напряженности магнитного ди­поля, поскольку силовые линии магнитного поля направлены вверх вдоль оси скважины).

Подставив (70) в (72) и проведя интегрирование, получим

ф = Мг*Л^схр (-*«*> ₍₇₃ч

2

Изменение магнитного потока Ф во времени создает э.д.с. электромагнитной индукции е в элементарном кольце. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея величина

е— — А Ф !(1 т. (74)

Знак минус в формуле (74) соответствует закону Ленца, со­гласно которому индукционный ток, взаимодействуя с магнит­ным полем, вызывает силу, направленную противоположно дей­ствию магнитного диполя.

Взяв производную в соответствии с (74) от (73), имеем

¿<оц_а^у_г/_асхр(-_> о)т)

Под действием этой э.д.с. в единичном элементарном кольце возникает вихревой ток силой

/ _ _е’н_к _ *⁶⁾Иад г_кп,5_г/_асхр (— < от)

4 л

где /?_к = 2дг_к/(15’а—сопротивление единичного элементарного кольца; ¿/5 — площадь его сечения, равная единице.

Ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. В соответствии с (69) в точке, где расположена измерительная катушка, напряженность этого поля

_и ^Мк Ук ^лгк ^>'⁽⁰№Уг^/а^&хП-10Я) ₌

2 л 2л I* 2 л 1*1 4 л ¿^З_г

= £ ©|д*а/*кЛт5т^ехр (—г сот)/8 я ¿$¿1, (77)

где /-„ — расстояние от точек элементарного кольца до центра измерительной катушки; 5_К — площадь поверхности элементар­ного кольца; М_к — магнитный момент кольца.

Величина вторичного магнитного потока, пронизывающего витки измерительной катушки,

д. и. дьяконов, 1

ОБЩИЙ КУРС 1

| БИБЛИОТЕКА | 2

_ ³ г-@-^Ит=ь— 31

л и=и_м-и_ы=2+-[-±---±А 43

р*=к;с/,/л 77

1с=И^ 87

Г] 87

д. и. дьяконов, 427

ОБЩИЙ КУРС 427

Одновременно с э.д.с. изучаемой среды в измерительной ка­тушке генерируется э.д.с. прямого поля генераторной катушки. Поскольку величина э.д.с. прямого поля не связана с парамет­рами среды, то она исключается с помощью специального уст­ройства.

Учтя соотношение .и^цои и умножив правую часть равен­ства (81) на ¿„/2 и 2/1.», представим выражение для е' в сле­дующем виде:

д. и. дьяконов, 1

ОБЩИЙ КУРС 1

| БИБЛИОТЕКА | 2

_ ³ г-@-^Ит=ь— 31

л и=и_м-и_ы=2+-[-±---±А 43

р*=к;с/,/л 77

1с=И^ 87

Г] 87

д. и. дьяконов, 427

ОБЩИЙ КУРС 427

— пространственный (геометрический) фактор элементар­ного кольца.

Введение множителя ¿„/2 в (84) позволяет свести интег­ральное значение пространственного фактора всего однород­ного пространства к безразмерной величине, равной единице [4].

Коэффициент зонда /С_и согласно формуле (83) определяется его конструкцией — длиной, числом и площадью витков гене­раторной и измерительной катушек; силой и частотой тока, пи­тающего генераторную катушку. Знак минус в (83) свидетель­ствует о том, что активная составляющая э.д.с., индуцируемая вторичным магнитным полем в измерительной катушке, нахо­дится в противофазе с током, питающим генераторную ка­тушку.

Из формулы (82) следует, что величина э.д.с., создаваемая элементарным кольцом породы при /С_и=соп$^ прямо пропор­циональна удельной электропроводности среды а, квадрату от­носительной магнитной проницаемости ц² и пространственному фактору В_к.

Пространственный фактор элементарного кольца

В теории Долля введение понятия пространственного фак­тора элементарного кольца занимает одно из центральных мест. Рассмотрим его физический и геометрический смысл.

Выразим расстояния от центров генераторной и измеритель­ной катушек до оси элементарного кольца через цилиндриче­ские координаты г и г. Из рис. 56 следует

¿г=У'2+(А.'²+*)¹; (85)

Выражение (84) с учетом соотношений (85) перепишем в виде

В_к = ьЛ / 2 [г1 + (¿„'2-г)²]^3/2 [г1 -Г (¿_в/2—г)²]^3/2. (86)

Из (86) следует, что значение пространственного фактора элементарного кольца определяется его вертикальным располо­жением относительно катушек и горизонтальным расстоянием от оси зонда при фиксированной длине зонда.

Выясним геометрический смысл пространственного фак­тора В_к.

Для треугольника АВС на рис. 56 на основании теоремы си­нусов запишем

sin ylL» = sin a,JLn.	(87)
Из прямоугольного треугольника ADC следует
sina = rK/¿r.	(88)
Подставив (88) в (87), найдем
т к‘ LfLrj — sin у/LH.	(89)
На основании (84) и (89)
Вн — s\v?yf2	(90)

Рнс. 57. Геометрические места сечений элементарных колец с одинаковыми пространственными факторами при |$ту|=* =» |sin (я—у) | (я) и sin л/2= I (б).

I. 2, 3 — сечения колец, нз которых виден зонд под углом у, я—у и я/2 соответственно

Из (90) следует, что пространственный фактор полностью определяется величиной угла у между сторонами L_r и L_n, под которыми виден зонд из точек элементарного кольца. В этом состоит геометрический смысл пространственного фактора. Сле­довательно, все элементарные кольца, из точек которых виден зонд под одним и тем же углом, имеют одинаковые простран­ственные факторы.

Геометрическим местом сечений элементарных колец с рав­ным пространственными факторами являются окружности, про­ходящие через центры генераторной и измерительной катушек. Значения пространственного фактора изменяются от 0 до 1. Максимальную величину он имеет в случаях, когда sin т. е. угол 7 = 90°. Сечения этих колец лежат на окружности с диаметром, равным длине зонда (рис. 57).

Представление пространственного фактора элементарным кольцом позволяет получить сигнал от различных участков среды. В случае однородной среды величины э.д.с., создавае­мые ее участками, зависят только от их пространственных фак­торов. Физический смысл пространственного фактора элемен­тарного кольца заключается в том, что он определяет ту долю сигнала на выходе измерительной катушки зонда, которую вно­сят различные участки изучаемой среды.

Выражения для э. д. с. вторичного магнитного поля в однородном и неоднородном пространствах

Выражение (82) определяет величину сигнала, создаваемую в измерительной катушке одним элементарным кольцом по­роды. Электродвижущая сила всего исследуемого пространства

Е будет равна сумме э.д.с. элементарных колец породы, т. е.

£ = /С_и ц² 5 сг В*<1$, (91)

$

где (¡э— площадь сечения кольца.

Удельная электропроводность в общем случае может быть непрерывной функцией координат точек пространства.

В случае однородной немагнитной среды (и = 1)

СП сс

Е = К» о 5 5 В_к(1гс1г, (92)

О —ес

ибо радиусы элементарных колец изменяются от 0 до ос. а ко­ордината г — от —оо до +оо.

Существует строгое доказательство [4] соотношения

] I ВЛАг = 1,

О —<е

т. е. суммарный пространственный фактор однородной изотроп­ной среды равен единице. В этом случае отношение Я//С» равно на основании (92) истинно удельной электропроводности среды

а = £//С„. (93)

Для неоднородной немагнитной среды с коаксиально-цилин­дрическими и плоско-параллельными горизонтальными поверх­ностями раздела, имеющей участки с электропроводностями пласта (т„_л, зоны проникновения о_зп. скважины <т_р и вмещаю­щих пород сгвм, полная э.д.с. будет равна сумме сигналов от каждого участка среды. Вклад каждого участка в суммарный сигнал равен произведению его электропроводности на прост­ранственный фактор. Полная э.д.с. в такой неоднородной среде

Е — К» (Оплв.| СГ31.В3П т ОрВр 4" 0_ВМВ_6М), (94)

где

В„ = Я В_к. В„. = Вр = ]Т Вк. А

⁵п *эп *р

-= Я в_к . ли

(1$— пространственные факторы соответственно

пласта, зоны проникновения, промывочной жидкости и вмещаю­щих пород.

Пространственные факторы каждого участка среды пред­ставляют собой сумму пространственных факторов В_к. _п, В_к, _зп, Вк.р, Вк, вм элементарных колец по их площадям сечения ¿п.

По аналогии с (93) и на основании (94) отношение Е'1К» в случае неоднородной среды есть ее эффективная удель­ная электропроводность

~ Е //С» = <7_ПЛВ_П т ОдпВзи -}- <ТрВр ~р а_вмВ_ву. (95)

Измеряемая эффективная электропроводность в общем слу­чае отличается от истинной удельной электропроводности пла­ста вследствие искажающего влияния на величину сигнала па­раметров скважины, зоны проникновения, вмещающих пород и соседних пластов. Это отличие тем существеннее, чем неодно­роднее исследуемая среда.

Из (95) следует, что удельная электропроводность участка среды и его пространственный фактор равнозначны при форми­ровании полного сигнала. Участок среды с высокой электропро­водностью, но малым пространственным фактором может соз­дать такой же сигнал, как и участок среды с низкой электро­проводностью, но большим пространственным фактором. Чем выше электропроводность отдельных участков среды, тем зна­чительнее величина сигнала от них; при весьма низкой электро­проводности какого-либо участка среды (а-»-0) его вклада в полный сигнал практически не будет.

Из сказанного выше следует, что кривая индукционного ме­тода наиболее дифференцирована против пород высокой элек­тропроводности и сглажена против пород с низкой электропро­водностью.