17. Понятие устойчивости линейных систем. Связь корней характеристического уравнения с устойчивостью системы. Критерии устойчивости.

Линейная динамич. сист. устойчива, если после снятия внеш. воздейств. она возвращ. в исход. равновесие. Устойчивость лин. ситс. определ. характером её свобод. движ. y_св(t) и следовательно, корнями её характеристич. ур-ния y(t)= y_св(t)+ y_вын(t)

y_св(t) определ. видом корней харак-кого ур-ния, корню s_k=a_k соответствует: y_{св к}(t)=С_к∙,s_k,k+1=_ki, y_{св к}(t)=С_к∙∙sin(_k∙t+) действит. корню кратности l – y_{св к}(t)=(С₁+ С₂∙t+…+C_l∙t^l–1)∙.

Условия устойчивости =0, если все действит. корни и действит. части сопряж. компл. корней отриц. для устойчивости лин. сист. необходимо и достаточ., чтобы все корни хар-кого ур-ния были располож. в левой полуплоскости корнейs_k.

Если среди корней есть один нулевой y_св(t)=С_к∙= С_к система назыв. нейтральной. Такая сист. в свобод. движ. не удаляется от и не приближ. к сост. исход. равновесия.

Если сопряж. пара корней располож. на мнимой оси y_свк(t)=С_к∙∙sin(_k∙t+)= С_к∙sin(_k∙t+) сист. назыв. на границе устойчив. Автоматич. сист. управл. должна быть утсойчив. Устйочив.–необходим. требование. Неустойчив. сист. неработоспособна. Для оценки устойчив. сист. использу. алгебраич. и частотные критерии устойчив.

18. Косвенная оценка устойчивости динамической системы по корням характеристического уравнения. Критерий Гурвица.

Критерии устойчивости Гурвица.

Для оценки уст-ти исп-т: алгебраич. и частотн. критерии уст-ти. Алгебраический критерий уст-ти Гурвица(1895) позволяет оценить уст-ть по коэф-ам характеристич. ур-ия:

a_n·Sⁿ+ a_n-1·S^n-1+..+a₁S+a₀=0.

Таблица(матрица)Гурвица

Крит. уст-ти Гурвица:для уст-ти сис-мы необх. и достаточно, чтобы при a_n>0 все определители Гурвица,составленные из коэф-ов характеристич. ур-ия были положительными

.Условие границы уст-ти:Сис-ма на границе уст-ти,если Δ_n=a₀· Δ_n-1=0,если 1) a₀=0 2) Δ_n-1=0-сопряженную пару мнимых корней.

19. Косвенная оценка устойчивости динамической системы с обратными связями по частотным характеристикам. Критерий Наквиста.

Характерист уравнение сист регулирования с отриц обр связью получается путём приравнивания знаменателя её передат ф-ии к нулю:

1 + W_рс(s) = 0. Устойчивость систем м.б. исследована с помощью критерия Найквиста; сущность этого критерия состоит в след.

Запишем: W_рс(jω) = -1. Из полученного уравнения следует, что о наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары мнимых корней можно судить по КЧХ р.к.: если она проходит через точку (-1; j0) при некоторой частоте ω, то характ ур-ие з.к. будет иметь пару соответствующих мнимых корней. Меняя значения одного или неск параметров системы, можно определить границу областей в пр-ве этих параметров, где контур будет устойчивым, а где нет. Об уст-ти з.к. при той или иной вариации можно судить по виду КЧХ р.к.

Будем рассматривать левую ч. Ур-ия 1 + W_рс(s) = 0 как новую ф-ию s:

N(s) = 1 + W_рс(s). Если в контуре отсутствует запаздывание, то эту функцию после замены s = jω можно записать следующим образом:

Как легко видеть числитель – характеристич вектор замкнутого контура системы, а знаменатель – характеристический вектор разомкнутой системы, причём оним имеют одинаковую степень n, равную степени полинома D_pc(s). В соотв-ии с крит. Уст-ти Михайлова, если разомкнутый контур устойчив, вектор D_pc(s)при изменении ω от ω=0 до ω=совершит против часовой стрелки поворот на уголn*90^o (где n – степень характер ур-ия); если, кроме того, устойчив и з.к., то на такой же угол повернётся и вектор . Следовательно, суммарный угол поворота вектораN(jw) в этом сл окажется равным нулю (т.к. угол повороты частного от деления двух векторов равен разности их углов поворота).

Отсюда следует частотный критерий уст-ти з. к. Найквиста: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора N(jw) при изменени частоты ω от ω=0 до равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыкания.

Формула для вектора N(jw) м.б. представлена след образом:

N(s) = W_рс(s) – (-1), т.е. вектор N(jw) может рассматриваться как разность 2 векторов: вектора W_pc(jw) и вектора, роведённого из начала координат в точку (-1; j0). Т.о., геометрически N(jw) изображается вектором, проведённым из точки (-1; j0) к КЧХ р.к. W_рс(jw). Это позволяется дать и другую формулировку критерия: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора, проведённого из точки (-1; j0) к КЧХ разомкнутого контура Wрс(jw), при изменении частоты ω от ω=0 до ω=равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыканияю.

С геометрической точки зрения равенство нулдю общего угла поворота вектора N(jw) свидетельствует о том, что точка (-1; j0) оказывается вне пределов области, очерчиваемой годографом W_рс(jw). Поэтому рассматриваемый критерий чаще всего формулируют следующим образом: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точки (-1; j0).

Достоинства критерия Найквиста:

• Может быть применён и для исследованияустойчивости замкнутых контуров с запаздыванием;

• Его можно использовать, когда модель объекта получена экспериментально в виде частотных характеристик.