39. Нелинейности в системах управления технологическими процессами.Особенности нелинейных систем.

Практически все технологические ОУ-нелинейные динамич. сис-мы,кот. опис-ся нелин. диф.ур-ми.Нелинейность-неизбежное св-во ТОУ.Св-ва нелин. ОУ и особенности ряда задач управления позволяют при работе объекта в окрестности режима, для кот. выполнена линеаризация,исп-ть лин. мат. модели ОУ и теорию линейных сис-м.При значительных отклонениях от номинального режима линейные модели и линейная теория не могут адекватно отразить действительное поведение сис-мы упр-ия. Например,НС устойчивая при малых отклонениях от состония равновесия,м.б. неустойчивой при большом отклонении от расчетного режима.Пример нелинейной динамики. .Из условия материального баланса:F·Δh=(Q₁ – Q₂)·Δt, F· =Q₁ – Q₂;F·=x₁·α₁·- x₂·α₂·;Δt→0;F·Δh'(t)=x₁·α₁·- x₂·α₂·-обыкновен. нел. ДУ 1-го порядка.Линеаризация методом малых отклонений.Непрер. мон. нелин. ф-ция матем. основа разложение в ряд Тейлора. .Наряду с «естественной» нелинейностью (нелин. дифур-ия и ур-ия статики) сис-мы упр-ия,как правило,содержат немаренно вносимые нелин. динамич. и статич. эл-ты.Пример динамич. НЭ-электрич. ИМ с пост. ск-тью.В любой сис-ме упр-ия неизбежно присутствует насыщение-нелинейность,обусловленная ограничением диапазона изменения управляющих,регулирующих возд-ий и вых. перемен.U_k,мин<U_k<U_k,макс;μ_k,мин<μ_k<μ_k,макс;у_k,мин<у_k<у_k,макс.

Хар-ки НЭ с насыщением:

Исходя из воз-ти линеаризации методом малых отклонений присутств. в сис-мах управления нелинейности подразделяют на линеаризуемые и нелинеаризуемые или на несущественно и существенно нелинейные. Для существенных нелинейностей разработаны спец. методы линеаризации:гармоническая линеаризация для исследования сис-м с НЭ в частотной обл-ти.;статич. линеаризация для исслед.сист-м с НЭ при случ. возд..Особые св-ва нелин. сис-м:1. недейств-т принцип суперпозиции.2.форма вых. сигнала зав-т от размера вх. сигнала(в лин.-не зависит).3.р-ция на гармонич. возд-ие-периодич. негармонич. ф-ция,содержащая бесконечное числогармоник.4.Возможны режимы устойчивых незатух. колебаний.

Типовые безинерционные нелинейности.

1. Насыщение

y = kx, -a ≤ x ≤ a y = c, x > a y = -c, x < -a

2. Зона нечувствительности

y = 0, -a ≤ x ≤ a y = kx, x > a y = kx, x < - a

3. НЭ с переменным коэффициентом передачи

y(x) = k₁(x), |x| <a y(x) = k₂(x), |x| > a

Различные односторонние нелинейности

Характеристики релейных элементов

1. Идеальное 2-позиционное реле

y = c, x ≥ 0 y = -c, x < 0

μ = 1, ε > 0 μ = 0, ε < 0

2. Идеальное 3-позиционное реле

y = c, x > a y = -c, x < -a y = 0, -a < x < a

3. 2-позиционное реле с зоной возврата

4. 3-позиционное реле с зоной нечувствительности Δ_Н и зоной возврата Δ_В

(-a < x < b) и dx(t)/dt >0, z₁ = 0, иначе z₁ = sign(x) (-b < x < a) и dx(t)/dt <0, z₂ = 0, иначе z₂ = sign(x) Если dx(t)/dt > 0, то z = z₁, иначе z = z₂ sign(x) = 1, x > 0, sign(x) = -1, x < 0

40. Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости системы по Ляпунову.

В нелин. сис-мах в общем случае рассм-ют уст-ть: 1.Состояния равновесия. 2.автоколебаний 3.движения. Уст-ть по Ляпунову:

Состояние равновесия наз-т устойчивым,если при любой заданной обл-ти ε допустимых отклонений от сост. равновесия можно указать обл-ть δ(ε),окружающую сост. равновесия и обладающую тем св-вом,что ни одно движение,начинающ. вблизи δ никогда не достигнет границ ε.

Состояние равновесия невозмущенной сис-мы устойчиво, если оно: 1.устойчиво. 2.любое движение,нач. вблизи от сост. равновесия,стремится к этому сост. при t→∞.Уст-ть по Ляпунову-это уст-ть в «малом».Иллюстрация уст-ти в «малом»:в зав-ти от отклонения сис-ма м.б. устойчивой,неуст., в сост. неуст. равновесия.

Если к сост. равновесия стремится при t→∞ любое движение, то сис-ма устойчива в целом. Уст-ть в целом это уст-ть в «большом».Лин. уст. сис-ма это сис-ма асимптотически устойч. в целом. Нейтр. лин. сис-ма устойчива по Ляпунову, но не асимптотически.