Вращательное движение твердых тел.

Момент М силы F относительно какой-нибудь оси вращения оп­ределяется формулой

,

где l — расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой дей­ствует сила.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-ни­будь оси вращения называется величина

где т — масса материальной точки r — расстояние точки от оси.

Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения

,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела. Производя интегрирование, можно получить следующие формулы:

1) момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где R — радиус цилиндра и т — его масса;

2) момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно оси цилиндра

для тонкостенного полого цилиндра R₁ R₂=R и

3) момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр

4) момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно его длине,

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J_o отно­сительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции от­носительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

где т — масса тела и d — расстояние от центра массы до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением

где М — момент сил, приложенных к телу, L — момент импульса тела (J — момент инерции, соугловая скорость вращения тела). Если J=const, то

где — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вра­щающего момента М.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

где J — момент инерции тела и ω — его угловая скорость.

Период малых колебаний физического маятника

где J — момент инерции маятника относительно его оси вращения, т — масса маятника, d — расстояние от оси вращения до центра масс, g — ускорение свободного падения.

Механика жидкостей и газов.

• Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход (объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени)

б) массовый расход (масса жидкости, протекающей в единицу времени через сечение)

,

где S — площадь поперечного сечения трубки тока, v — скорость жидкости, р — плотность жидкости.

• Уравнение неразрывности струи

,

где S₁ и S₂ — площади поперечного сечения трубки тока в двух местах, v₁ и v₂ — соответствующие скорости течений.

• Уравнение Бернулли:

а) в общем случае

,

где р₁ и р₂ — статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока, ν₁ и v₂ — скорости течения жидкости в этих сечениях, — плотность жидкости, — динамические давления жидкости в двух сечениях, h₁ и h₂ — высоты этих сечений над некоторым уровнем, g — ускорение свободного падения, — гидростатические давления;

б) в случае когда оба сечения находятся на одной высоте (h₁=h₂):

.

• Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

,

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

• Сила сопротивления, испытываемая шариком при падении в вязкой жидкости (формула Стокса),

,

где — коэффициент внутреннего трения жидкости, r — радиус шарика, v — его скорость.

• Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку (формула Пуазейля),

,

где r— радиус трубки, l — длина трубки, р — разность давлений на концах трубки.

• Число Рейнольдса:

а) для потока жидкости в длинных трубках

,

где — плотность жидкости, <ν> – средняя по сечению скорость течения жидкости, d — диаметр трубы;

б) для движения шарика в жидкости

,

где ν — скорость движения шарика, d — его диаметр.