Тема 9. Механические колебания. (4 ч.)

Механические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Математический, физический и пружинный маятники. Энергия колебательного движения. Затухающие колебания, их характеристики. Вынужденные колебания, явление резонанса.

Вопросы для самопроверки:

1. Какое движение называется колебательным?

2. Дайте определение периода колебаний.

3. Дайте определение частоты колебаний.

4. Дайте определение гармонических колебаний.

5. Запишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

6. Запишите формулы для скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания.

7. Дайте определение амплитуды гармонических колебаний, фазы, начальной фазы гармонических колебаний.

8. Математический, пружинный и физический маятники.

9. Напишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний МТ.

10. Что определяет коэффициент затухания?

11. Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний МТ.

12. Что такое резонанс?

Задачи для решения на занятии:

1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5см, если в 1 минуту совершается 150 колебаний и начальная фаза равна 45⁰.

2. Амплитуда гармонического колебания 5см, период 4с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

3. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2с, амплитуда 50мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25мм.

4. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2см, полная энергия колебаний 3·10^-7Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила 2,25·10^-5Н.

5. Барабан электрокимографа диаметром 16см вращается с линейной скоростью 0,8см/сек. Пишущий элемент совершает колебания с частотой 1Гц. Сколько полных колебаний будет записано на ленте за время одного оборота барабана?

6. Пишущий элемент регистрирующего прибора совершает колебания по закону x=2sin(t–0.4)см. Определить амплитуду, период и начальную фазу колебаний. Через сколько времени после начала отсчета пишущий элемент будет проходить положение равновесия?

7. Камертон издает звук частотой 400Гц. Определить максимальные скорость и ускорение конца ветви камертона, если амплитуда равна 0,2мм.

8. К пружине подвешен груз массой 10кг. Зная, что пружина под влиянием силы 9,81Н растягивается на 1,5см, определить период вертикальных колебаний груза.

9. Рассматривая биение сердца как гармонические колебания, определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расположенными на расстоянии 25см друг от друга (локтевая ямка и нижняя треть предплечья). Скорость пульсовой волны считать равной 8м/сек, а частоту биений сердца - 70 ударов в минуту.

10. При какой скорости трамвайный вагон массой 36т будет особенно сильно раскачиваться от толчков колес о стыки рельсов, если длина каждого рельса 12,5м? Вагон подвешен на 4 рессорах, каждая из которых прогибается на 15мм при действии на нее силы 10000Н.

11. На концах тонкого стержня длиной l=1м и массой m₃=400г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 г и m₂=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

12. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

13. Грузик массой m=250г, подвешенный к пружине, колеб­лется по вертикали с периодом Т=1с. Определить жесткость k пружины.

14. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9см. Каков будет период Т коле­баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

Домашнее задание

1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 0,1м периодом 4с и начальной фазой, равной нулю.

2. Амплитуда гармонических колебаний 50мм, период 4с, начальная фаза /4. Написать уравнение этого колебания, найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и t=1,5с.

3. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени Т/12, Т/8, Т/6. Начальная фаза колебаний равна нулю.

4. К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1Дж, найти коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5см.

5. При беге на средние дистанции колебания центра тяжести спортсмена можно рассматривать как гармонические. Считая наибольшее смещение центра тяжести тела спортсмена равным 10см, определить максимальную скорость смещения его центра тяжести, если спортсмен делает 210 шагов в минуту.

6. Рука человека при ходьбе совершает гармонические колебания по уравнению x=17sin1,6πt см. Определить время прохождения руки от положения равновесия до максимального отклонения.

7. Источник звука колеблется по уравнению x=0.2sin800t. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний равна 340м/сек, и записать уравнение колебаний точки, находящейся на расстоянии 85м от источника.

8. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1м и массой 3m₁ с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=0,5l и массой m₁. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период Т колебаний такого маятника.

9. Математический маятник длиной l=1м установлен в лиф­те. Лифт поднимается с ускорением а=2,5м/с². Определить период Т колебаний маятника.

10. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A=4см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1кН/м.