2. Определение геометрических характеристик плоских сечений с горизонтальной осью симметрии

Рисунок 3 –Расчетная схема поперечного сечения стержня

Данные:

k1=4; k2=5; b=4a; h=5a;

Порядок выполнения

1. Вычертить в масштабе поперечное сечение.

2. Разбить сечение на элементарные части и пронумеровать их.

3. Провести главные центральные оси ; для каждой элементарной части и вычислить их характеристики: ; ; .

4. Выбрать вспомогательную ось и вычислить относительно этой оси расстояние до центра тяжести сечения (если ось симметрии направлена вертикально) или (горизонтально).

5. Построить центр тяжести сечения и главные центральные оси ; .

6. Вычислить главные центральные моменты инерции поперечного сечения и .

7. Вычислить моменты сопротивления при изгибе и .

1. На Рис. 3 я изобразил заданное сечение в масштабе

2. Разбил сечение на элементарные фигуры и пронумеровал их. По схеме видно, что сечение имеет ось симметрии.

Ось симметрии X_C является главной центральной осью инерции поперечного сечения.

3. Провел собственные центральные оси x_i и y_i через центр тяжести каждой элементарной фигуры.

Далее вычислил геометрические характеристики каждой элементарной фигуры: площади F_i и собственные главные центральные моменты инерции элементарных фигур Iⁱ_xi

Площади элементарных фигур

Моменты инерции элементарных фигур Iⁱ_xi

4. Я провел вспомогательную ось X₀

5. Затем вычислил относительно оси X₀ расстояния x_i до центра тяжести каждой элементарной фигуры

Y₁=2,5a

Y₂=3,75a

Y₃=4,17a

6. Далее вычислил статические моменты элементарных фигур Sⁱ_X0 относительно вспомогательной оси X₀

Определил положение главной центральной оси X_C

7. Вычислил главные центральные моменты инерции каждой элементарной фигуры относительно главных центральных осей всего сечения – относительно найденной главной центральной оси X_C:

Относительно второй главной центральной оси Y_C

8)Вычислил наименьшие моменты сопротивления W_X и W_Y сечения.

Момент сопротивления относительно оси X_C

Момент сопротивления относительно оси Y_C

Вывод: наименьший момент сопротивления по отношению к оси имеют равноудаленные от неё точки =5,01 , а по отношению к оси точка =13,227 .

3. Расчет на прочность и жесткость статически определимой балки при изгибе

Расчет на прочность стальной балки по нормальным напряжениям [ ]

Цель: для балки, загруженной плоскими поперечными силами

Данные:

=30 кН; =15 кН/м; a=2 м; G=0,8 ;

Порядок расчёта

1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M;

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать для балки двутавровое, прямоугольное (h=2b), круглое, кольцевое ( =d/D=0,8) сечения.

3. Сравнить веса балок с нормальными поперечными сечениями.

Рисунок 5-Схема балки с поперечными нагрузками

1. Я определил реакции опор R_A и R_B. Составил моментные уравнения внешних сил относительно опорных концов балки A и B.

Делаю проверку

2. Определяю внутренние усилия в балке и построил эпюры Q_y и M_x. Поперечная сила Q_i, возникающая в сечении, уравновешивается внешними силами, действующими по одну сторону от сечения.

I участок

0

II участок

0

III участок

0

Строю эпюру поперечных сил Q_i

Составляю математические выражения функций изгибающих моментов M_i для каждого участка балки, используя метод сечений.

При наличии равномерно распределенной нагрузки выполняю исследование функции изгибающего момента на максимум для определения величины M_max и его точного положения.

Изгибающие моменты

На I участке

На II участке

На III участке

Вывод: значение максимального изгибающего момента приму по построенной эпюре.

Определяю из условия прочности момент сопротивления.

Выбираю двутавровое сечение:

Двутавр №30

W_x=472 см³, I_x=7080 см⁴,S_x=268 см³, d=6,5 мм, F=46,5 см²

Рисунок 7-эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении двутавра №30

Определяю безопасные размеры поперечных сечений для круга, кольца и прямоугольника.

- Выбираю круговое сечение:

- Кольцевое сечение:

• Прямоугольное сечение с отношением сторон h=2b

Вывод: Наименьший вес имеет двутавровая балка. Следовательно, по условию прочности балка с таким профилем поперечного сечения является наиболее экономичной.

II часть Расчет на жесткость балки по допускаемому прогибу [f] методами начальных параметров

Цель: из условия жесткости определить необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки и подобрать по нему двутавр.

Допускаемый прогиб для заданной балки

[f]=0,0002L

L=4a=8м

[f]=16мм

Составил уравнение прогиба y_c, используя универсальное уравнение оси балки

C_zc=2м

z=4

Z=6

Условие жесткости

- Максимальный прогиб находится в середине второго участка

- Его величина больше допускаемого прогиба

_maxy_c=32,6мм>[f]=16мм

- Принятый двутавр №30 удовлетворяет поставленным условиям по прочности, но не удовлетворяет условиям по жесткости.

Я выбрал новый номер двутавра

№40

Его характеристики:

- момент сопротивления W_x=953 см³

- момент инерции I_x=19062 см⁴

- площадь сечения F=72,6 см²

Двутавр №40, я выбрал из условия жесткости, проверяю по условию прочности.

Вывод: применять двутавр №40 целесообразно.