2. Средствами пакета мatlab построить графики функций:

а) T =T(n), T(n) - время решения системы, n - ее порядок.

б) F=F(cond), , где

cond - число обусловленности для данной задачи;

- любая из норм, доступных в пакете;

- найденное численное решение;

- известное точное решение. (Взять произвольный вектор и построить b=A )

в) линейную аппроксимацию функции F по методу наименьших квадратов. Функции б) и в) должны быть построены на одном графике. Объяснить результаты.

3. Для n=5 получить аналитическое представление для A, используя символьные возможности пакета MATLAB и написанную подпрограмму формирования матрицы ( см. п.1 а) ).

Задания 11-20

Строчки и столбцы приведенной табл. 3 содержат названия сравниваемых методов. На пересечении строк и столбцов расположен номер варианта / номер тестовой матрицы.

1. a) Написать подпрограмму формирования тестовой матрицы A и аналитического решения исследуемой системы ( ).

б) Написать подпрограммы численного решения системы указанными методами. Для указанных преподавателем вариантов из табл. 3:

Табл. 3

	inv	lu	qr	\	chol
inv		11/15	12/17	20/13	13/18
lu			14/19	15/8	16/21
qr				17/22	18/20
\					19/17

провести сравнение "численных методов" решения систем A =b, реализованных по формулам:

а) inv обращение матрицы

б) lu A=L*U, L*U*x=b

L*y=b

U*x=y

в) qr A=Q*R, Q*R*x=b

R*x=Q'*b

г) \ "матричное деление"

д) chol A=R*R', R*R'*x=b

R*y=b

R'*x=y

Примечание. В случае сравнения с методом Холесского, матрица должна быть симметричной и положительно определенной. Численное решение системы A =b, где - заранее известное решение, b - соответствующий ему вектор правой части получать следующим методом. Сначала найти разложение матрицы, а затем решить системы линейных уравнений методом исключения, используя специальный вид получившихся в разложении матриц. (Не пользоваться специальными командами MATLAB для решения СЛАУ).

2. Средствами пакета мatlab построить графики функций:

а) T = T(n), T(n) - время решения системы, n - ее порядок(для двух "методов" на одном графике);

б) F = F(cond), (для двух "методов" на одном графике), где:

;

сond - число обусловленности для данной задачи;

- любая из норм, доступных в пакете;

x – найденное приближенное решение;

- точное решение. (Взять произвольный вектор и построить b=A ).

в) линейную аппроксимацию функции F по методу наименьших квадратов. Объяснить результаты.

3. Для матрицы размерностью 5x5 получить аналитическое представление A, используя символьные возможности пакета MATLAB и написанную подпрограмму формирования матрицы.

Задание 2. Моделирование одномерного нестационарного процесса

Разработать программу на MATLAB для моделирования одномерного нестационарного распределения температуры в брусе, описываемого математической моделью вида

,

с граничными условиями, определяемыми вариантом задания и начальными условиями вида .

1. Получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной t, для чего аппроксимировать со 2-ым порядком уравнения в частных производных и граничных условий, используя интегро-интерполяционный метод (метод баланса).

2. Разработать программу для решения аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений, используя одну из функций класса ode пакета MATLAB.

3. Исследовать зависимость погрешности решения от числа разбиений интервала интегрирования по пространственной переменной ( ) в фиксированные моменты времени, для чего использовать известное аналитическое решение.

4. Для достаточно большого значения T убедиться в сходимости полученного решения к известному стационарному решению.

5. Для выбранного значения n на одном графике нарисовать профили полученного и точного решений в фиксированные моменты времени.