Задания к пакету matlab. Вычисления с плавающей точкой

Задание 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задания 1-5.

Табл. 1

номер задания	Матричная операция и оператор языка заданий пакета MATLAB	номер тестового примера
1	inv - обращение квадратной невырожденной ( )-матрицы	6
2	обращение матрицы с помощью оператора \ - "матричного деления"	7
3	обращение симметричной ( )-матрицы с помощью оператора chol - разложения (Холесского) на множители	12
4	обращение матрицы с помощью оператора lu - LU-разложения на множители ( )-матрицы	9
5	обращение матрицы с помощью оператора qr - QR-разложения на множители ( )-матрицы	13

1. a) Написать подпрограмму формирования тестовой матрицы A и ее обратной ( ) по соответствующим формулам.

б) Написать подпрограмму численного нахождения обратной матрицы указанным методом.

Требуемое численное значение обратной матрицы получать, последовательно решая системы Ax_i=e_i относительно столбцов x_i матриц из матричного уравнения AX=E, где X - искомая обратная матрица, E - единичная. В заданиях 3-5 для этого сначала, с помощью указанной операции, найти матричное разложение, а затем решить n систем линейных уравнений методом исключения, используя специальный вид получившихся в разложении матриц. (Не пользоваться специальными командами MATLAB для решения СЛАУ). Примечание. В задании 3 сформированная матрица должна быть симметричной и положительно определенной.

2. Средствами пакета МATLAB построить графики функций:

a) T =T(n), T(n) - время, затраченное на обращения матрицы, n - ее порядок.

б) F=F(cond), ;

cond - число обусловленности для данной задачи;

- любая из норм, доступных в пакете;

X - найденное численное значение обратной матрицы;

- известное точное решение.

в) линейную аппроксимацию функции F по методу наименьших квадратов. Функции б) и в) должны быть построены на одном графике. Объяснить результаты.

3. Для n=5 получить аналитические представления для A и A^-1 , используя символьные возможности пакета MATLAB и написанную подпрограмму формирования матриц ( см. п.1 а) ).

Задания 6-10.

Табл. 2

номер задания	Матричная операция и оператор языка заданий пакета MATLAB	номер тестовойматрицы
6	решение системы с помощью оператора inv - обращения квадратной невырожденной ( )-матрицы	5
7	решение системы с помощью оператора \ - "матричного левого деления"	3
8	решение системы с помощью оператора chol - разложения Холесского на множители	6
9	решение системы с помощью оператора lu - LU- разложения на множители ( )-матрицы	10
10	решение системы с помощью оператора qr - QR- разложения на множители ( )-матрицы	15

1. a) Написать подпрограмму формирования тестовой матрицы A и аналитического решения исследуемой системы ( ).

б) Написать подпрограмму численного решения системы указанным методом.

В заданиях 8-10 численное решение системы A =b, где - заранее известное решение, b - соответствующий ему вектор правой части получать следующим методом. Сначала найти разложение матрицы, а затем решить системы линейных уравнений методом исключения, используя специальный вид получившихся в разложении матриц. (Не пользоваться специальными командами MATLAB для решения СЛАУ). Например, , , Ly=b, Ux=y.

Примечание. В задании 8) матрица системы должна быть симметричной и положительно определенной.