Завдання № 24

1. Охарактеризувати застосування критерію в економетричних дослідженнях моделей парної і багатофакторної регресії для оцінки статистичної важливості параметрів і побудови для них інтервалів довіри.

Аналогічно до моделей ПЛР в моделях БЛР перевіряється статистична важливість параметрів з метою визначення, який із них, а отже і відповідний йому фактор, має важливе значення при оцінці впливу на показник, та будуються для параметрів інтервали довіри з метою встановлення числових меж можливих значень параметрів одержаних при розрахунках.

Перевірку важливості та побудову інтервалів здійснюють на основі t -статистики з певною ймовірністю α, таким чином:

 перевірка статистичної важливості параметрів:

а) розрахунок фактичного значень t -статистики для кожного з параметрів

- середнє квадратичне відхилення параметру a_j,

– діагональний елемент матриці (X^T · X)^-1

- середнє квадратичне відхилення регресії

б) задати ймовірність α, з якою перевірятиметься статистична важливість, для неї та для числа к = n–m–1 знайти табличне значення t- статистики t ^табл. = t (α; k)

в) порівняти фактичне значення t- статистики з табличним і зробити відповідний висновок. А саме, якщо: вважати статистично неважливим з ймовірністю α; якщо ж вважати статистично важливим.

 Побудова для параметрів інтервалів довіри:

а) задати ймовірність α, з якою будуватимуться інтервали довіри, і для неї та числа k = n–m–1, знайти табличне значення t- статистики. t ^табл. = t (α; k).

б) знайти для кожного з параметрів моделі = t ^табл · σ[a_j], – можлива похибка його значень.

в) побудувати інтервали довіри для кожного параметру, як інтервали вигляду

2. Проаналізувати мету застосування і методику критерію Фішера у методі Фаррара-Глобера дослідження мультиколінеарнлсті факторів.

Як було викладено вище, одним із припущень у моделях БЛР є відсутність лінійної та кореляційної залежності між факторами, які впливають на показник.

Якщо це припущення порушується, то між факторами виникає мультиколінеарність.

Т.ч., мультиколінеарність в економетрії – це лінійна та кореляційна залежність між будь-якими 2-ома факторами X_i, X_j, i,j= з множини всіх факторів, що впливають на показник.

Розглядають 2 види мультиколінеарності:

 строгу (виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j, i,j= лінійної залежності вигляду X_i = αX_j , α = const > 0.

‚ нестрогу. Виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j залежності виглядуX_i = αX_j + L, α = const > 0, L – випадкова величина – відхилення.

Мультиколінеарність в моделях БЛР є негативним явищем, і тому певним чином досліджується, виявляється і усувається.

Мультиколінеарність негативна, тому що:

1. у випадку існування строгої мультиколінеарності взагалі неможливо побудувати модель БЛР.

2. у випадку існування нестрогої мультиколінеарності модель БЛР побудувати можливо, але при розрахунку невідомих параметрів можливі грубі похибки та деякі неточності, що призводять до неефективності значень параметрів та неефективності застосування статистичних критеріїв дослідження побудованої моделі.

Для виявлення мультиколінеарності. використовують 2 способи:

 на основі ознак мультиколінеарності

‚ на основі методу Фаррара-Глобера

Ознаки мультиколінеарності:

І. нехай для значень факторів, що впливають на показник

Х₁ = (x₁₁, x₁₂, … , x_1n)

Х₂ = (x₂₁, x₂₂, … , x_2n)

… … … … …

Х_m = (x_m1, x_m2, … , x_mn)

Y = (y₁, y₂, … , y_n)

розраховано:

−> коефіц. кореляції для пар факторів

−> побудовано модель БЛР, тобто знайдемо її параметри

Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m + l

−> розраховано коефіц. множинної кореляції

Тоді, якщо серед коефіц. кореляції знайдуться такі, значення яких прямує до коефіц. множ. кореляц., то говорять про наявність мультиколінеарності між факторами цими.

r[Х_i, Х_j] → R, мультиколінеарні.

ІІ. Нехай для значень факторів побудовано кореляц. матрицю r і розраховано визначник цієї матриці Δr, при чому значення Δr є [0; 1]

і снує строга мультиколінеарність між факторами

мультиколінеарність відсутня

ІІІ. Нехай: на основі статистичної інформації показника та факторів, побудовано: модель БЛР

Y = a₀ + a₁Х₁ + a₂Х₂ + … + a_mХ_m + l,

кореляційну матрицю r, та обернену до неї Z = r ^-1.

Назвемо коефіцієнтом детермінації факторів величини:

, Z_jj – діагональний елемент матриці Z.

Тоді, якщо параметри моделі є достатньо малими по відношенню до відповідних коефіц. детермінації факторів, то говорять про наявність мультиколінеарності факторів.

IV. Якщо серед коефіц. детермінації факторів знайдуться такі, значення яких прямує до 1, то говорять, що відповідний фактор є мультиколінеарним з рештою факторів

- мультиколінеарний з рештою факторів.

Метод Фаррара-Глобера

Даний метод включає 3 статистичні критерії, кожен з яких, з певною заданою ймовірністю α, дає можливість визначити або наявність, або відсутність одного з видів мультиколінеарності між факторами. А саме:

 критерій „ксі-квадрат” – χ² - дає можливість визначити чи існує взагалі мультиколінеарність між факторами.

‚ F-критерій Фішера - визначає мультиколінеарність одного фактора з рештою.

ƒ t-статистика - визначає мільтиколінеарність між парами факторів.

Для визначення наявності або відсутності мультиколінеарності факторів за методом Фаррара–Глобера необхідно:

1) для значень факторів побудувати кореляційну матрицю r

2) обчислити визначник Δr кореляційної матриці r

3) розрахувати фактичне значення критерію χ² за формулою:

n – кількість спостережень

m – кількість факторів

4) задати ймовірність α і для неї та числа знайти табличне значення критерію χ²

5) порівняти фактичне значення χ² з табличним. Якщо:

χ²_факт > χ²_табл => мультиколінеарність існує, переходимо до наступного кроку методу.

χ²_факт < χ²_табл => мультиколінеарності не існує, завершуємо даний метод

6) побудувати матрицю, обернену до кореляційної Z=r ^-1

7) для кожного із факторів знайти фактичне значення критерію Фішера

8) для ймовірності α і чисел k₁=n – m ; k₂= m – 1 знайти табл. значення F-критерію Фішера

F^табл = F(α; k₁; k₂)

9) порівняти фактичне значення критерію Фішера з табличним.

F_Xj^факт > F ^табл => фактор X_j є мультиколінеарним з рештою факторів;

F_Xj^факт < F ^табл => фактор з рештою факторів не колінеарний.

10) розрахувати для кожної пари факторів частинні коефіцієнти кореляції.

11) Для кожної пари факторів знайти фактичне значення t-статистики

12) Для ймовірності α та k = n – m знайти табличне значення t-статистики

t ^табл = t (α; k)

13) порівняти фактичне значення t-статистики з табличним:

=> фактори X_i, X_j – мультиколінеарні

=> фактори не мультиколінеарні

Після того, як виявлено по методу Фаррара–Глобера пару мультиколінеарних факторів, необхідно позбутись даного явища в силу його негативності. Для цього застосовують 2 методи усунення мультиколінеарності:

−> вилучення одного з мультиколінеарних факторів з розгляду

−> вводиться новий фактор X_i^* = X_i – X_j

Замість одного мультиколінеарного фактору розглядаюєься новий, але з попередньою його перевіркою на мультиколінеарність. Тобто знову здійснюють перевірку на мультиколінеарність за методом Фаррара–Глобера і у випадку її відсутності використовують новий фактор, наявності – використовують 1 метод.