2. Охарактеризувати кореляційний взаємозв’язок між показником і фактором, якщо коефіцієнт кореляції для них дорівнює .

. При встановленні і дослідженні взаємозв’язку між факторами інколи недостатньою є побудова коваріаційної і кореляційної матриць. У такому випадку для дослідження взаємозв’язку між факторами розраховують так звані коефіцієнти частинної кореляції для пар факторів – r^*.

Ці коефіцієнти дають можливість визначити існування і тісноту кореляційного взаємозв'язку між будь-якими двома факторами при умові, що інші фактори фіксуються на сталому рівні.

Частинні коефіцієнти кореляції розраховують за 2-ма методами:

1) На основі кореляційної матриці

2) На основі матриці, оберненої до кореляційної.

Розглянемо будь-які два фактори з множини всіх факторів і вважатимемо всі інші сталими

X_i = (х_i1, х_i2, … , х_in)

X_j = (х_j1, х_j2, … , х_jn)

А також побудуємо кореляційну матрицю r, і знайдемо до неї обернену Z = r ^-1 .

Тоді, коефіцієнтом частинної кореляції для факторів X_i, X_j розрахованим на основі методу кореляційної матриці називають величину:

R_ij, R_ii, R_jj – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів кореляційної матриці.

А коефіцієнтом частинної кореляції факторів Х_i, Х_j, розрахованих за методом матриці, оберненої до кореляційної, називають величину:

Z_ij, Z_ii, Z_jj – відповідні елементи матриці, оберненої до кореляційної.

Вибір методу залежить від початкових даних та від постановки задачі.

Завдання № 23

1. Охарактеризувати види і методи зведення до лінійного вигляду моделей парної нелінійної регресії.

Розглянемо вплив факторів X₁₌ (х₁₁, х₁₂, …, х_1n), X₂₌ (х₂₁, х₂₂, …, х_2n), ... , X_{m =}(х_m1, х_m2, …, х_mn) на показник Y = (y₁, y₂, …, y_n)

Припустимо, що на основі такого впливу побудовано модель БЛР, що відображає взаємозв’язок показника та факторів.

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_mX_m + l

та розраховано значення відхилень.

l_i = y_i – a₀ - a₁x_1i – a₂x_2i – … – a_mx_mi

Одним з припущень, введених відносно моделі БЛР, було припущення про відсутність лінійної та кореляційної залежності між будь-якими відхиленнями l_i, , якщо це припущення не виконується, то говорять, що між відхиленнями існує явище автокореляції.

Автокореляцією в моделях БЛР називають лінійну та кореляційну залежність між будь-якими елементами ряду побудованого з відхилень

l₁, l₂, l₃, … , l_n

Якщо лінійна та кореляційна залежність існує між сусідніми елементами ряду відхилень, то говорять, що між ними існує автокореляція І порядку.

Автокореляція є також негативним явищем в економетриці, має свої причини виникнення та наслідки, а отже потребує дослідження, виявлення та усунення. Виявлення автокореляції здійснюються на основі т.з. критеріїв наявності автокореляції, а усунення – на основі узагальненого методу НК.

Причини виникнення автокореляції:

 неврахування у регресії фактора, який має суттєву роль при дослідженні того чи іншого економічного явища.

‚ невідповідність вибраного вигляду залежності показника від факторів статистичним даним, тобто реальній дійсності.

ƒ одержання статистичних даних з великими похибками при дослідженні і вимірюванні будь-якого економічного явища.

Наслідки автокореляції:

 Неефективність знайдених параметрів моделі через існування грубих похибок в статистичній інформації, а отже неефективність дослідження впливу відповідного фактору на показник.

‚ Неможливість застосування з тих же причин та неефективність статистичних критеріїв перевірки адекватності моделі та перевірки статистичної важливості параметрів.

ƒ Неефективність з тих же причин прогнозування і планування зміни показника під впливом зміни факторів.

Наявність автокореляції виявляють на основі наступних статистичних критеріїв:

1. критерій Дарбіна–Уотсона;

2. критерій фон Неймана;

3. нециклічний коефіцієнт автокореляції.

Аналогічно до мультиколінеарності розрізняють автокореляцію:

−> строгу

−> нестрогу

Строга автокореляція, якщо між відхиленнями l_i, l_j існує співвідношення вигляду l_i=ρl_j, ρ – коефіцієнт автокореляції.

ρ > 0 => додатня автокореляція

ρ < 0 => від’ємна автокореляція

Нестрога автокореляція: l_i=ρl_j+L, L – деяке відхилення.

Критерій Дарбіна–Уотсона

Даний критерій дає можливість з деякою, наперед заданою ймовірністю α(0,95; 0,99), на основі порівняння фактичного значення з табличними, встановити наявність або відсутність автокореляції відхилень. Для цього необхідно:

 для значень відхилень розрахувати фактичне значення критерію Дарбіна–Уотсона за формулою:

d ^факт є [0; 4]

‚ задати ймовірність α, з якою перевірятиметься автокореляція і для неї та чисел k₁ = n, k₂ = m знайти табличне значення критерію Дарбіна – Уотсона d^табл, яке характеризуватиметься 2-ома числами:

+ нижньою межею d_l

+ верхньою межею d_n

ƒ порівняти факт значення критерію Дарбіна–Уотсона з табличними. Зробити висновок згідно виконання або невиконання наступних умов

а) 0 < d ^ф < d_l – існує додатня автокор. відхилень

б) 4 – d_l < d ^ф < 4 – d_n – автокор. відсутня

в) 4 – d_l < d ^ф < 4 – автокор. від’ємна

г) d_l < d ^ф < d_n => висновок про існування автокор. зробити неможна

або 4 – d_n < d ^ф < 4 – d_l

Критерій фон Неймана

Даний критерій дає можливість з деякою наперед заданою ймовірністю α на основі порівняння фактичного значення критерію з табличним зробити висновок про наявність або відсутність автокореляції відхилень ( Q-статистика ).

Для цього необхідно:

1) розрахувати для значень відхилень фактичне значення критерію фон Неймана за формулою

2) Задати ймовірність α, з якою перевірятиметься автокор. і для неї та числа k = n знайти табл. значення критерію фон Неймана

Q^табл = Q(α; k)

3) порівняти Q^табл та Q^факт

Q^факт < Q^табл => з ймовірністю α можна говорити про автокор. відхилень першого порядку

Q^факт > Q^табл => автокор. відсутня

Нециклічний коефіцієнт автокореляції

Даний критерій дає можливість визначити наявність або відсутність автокор. відхилень розрахувавши і проаналізувавши його значення

Властивості нециклічного коефіцієнту автокореляції

1) r* є [-1; 1]

2) r* є [-1; 0] – від’ємна автокор.

3) r* є [0; 1] – додатня

4) r* = 0 – відсутня