2. Проаналізуйте метод побудови багатофакторних регресій в матричній формі. Де ще в економетричних дослідженнях застосовується теорія матриць?

В багатофакторному регресійному аналізі деякі питання розглядають використовуючи теорію матриць. З цієї позиції для знаходження невідомих параметрів моделі БЛР розглядають метод НК у матричній формі, а саме.

Нехай на показник впливають фактори

Між ними існує лінійна залежність вигляду ; розпишемо цю залежність для n спостережень і одержимо наступну с-му лінійних рівнянь

Введемо наступні позначення

Y – вектор – стовпець значень залежної змінної

a – вектор-стовпець невідомих параметрів

l – вектор-стовпець значень відхилень

X – матриця значень факторів або матриця коефіцієнтів у с-мі при невідомих.

Тоді система запишеться у вигляді наступного матричного рівняння.

Розв’язавши дане матричне рівняння відносно невідомого вектора а одержимо формулу визначення невідомих параметрів моделі багатофакторної лінійної регресії методом НК у матричній формі

Т.ч., щоб за методом НК у матричній формі знайти значення невідомих параметрів моделей БЛР необхідно:

1) побудувати вектори a, Y та матрицю X

2) побудувати матрицю транспоновану до матриці X

3) знайти добуток матриць X^T·X

4) побудувати матрицю, обернену до попередньої матриці (X^T·X)^-1

5) знайти добуток матриці X^T·Y

6) застосувати формулу методу НК у матричній формі a = (X^T·X)^-1 · (X^T·Y)

Приклад:

На основі впливу 2-ох факторів на показник знайти невідомі параметри моделі двохфакторної ЛР методом НК у матричній формі.

Y\X	X1	X2
3 3 2 2	3 3 3 4	4 5 5 4

1) ; ;

2)

3)

4)

5)

6)

Завдання № 22

1. Визначти число k критерію перевірки мультиколінеарності факторів методом Фаррара – Глобера, що складається з 50 спостережень і 5 незалежних змінних дорівнює. Охарактеризувати даний критерій, навести методику його застосування.

Як було викладено вище, одним із припущень у моделях БЛР є відсутність лінійної та кореляційної залежності між факторами, які впливають на показник.

Якщо це припущення порушується, то між факторами виникає мультиколінеарність.

Т.ч., мультиколінеарність в економетрії – це лінійна та кореляційна залежність між будь-якими 2-ома факторами X_i, X_j, i,j= з множини всіх факторів, що впливають на показник.

Розглядають 2 види мультиколінеарності:

 строгу (виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j, i,j= лінійної залежності вигляду X_i = αX_j , α = const > 0.

‚ нестрогу. Виникає у випадку існування між факторами X_i, X_j залежності виглядуX_i = αX_j + L, α = const > 0, L – випадкова величина – відхилення.

Мультиколінеарність в моделях БЛР є негативним явищем, і тому певним чином досліджується, виявляється і усувається.

Мультиколінеарність негативна, тому що:

1. у випадку існування строгої мультиколінеарності взагалі неможливо побудувати модель БЛР.

2. у випадку існування нестрогої мультиколінеарності модель БЛР побудувати можливо, але при розрахунку невідомих параметрів можливі грубі похибки та деякі неточності, що призводять до неефективності значень параметрів та неефективності застосування статистичних критеріїв дослідження побудованої моделі.

Для виявлення мультиколінеарності. використовують 2 способи:

 на основі ознак мультиколінеарності

‚ на основі методу Фаррара-Глобера

Метод Фаррара-Глобера

Даний метод включає 3 статистичні критерії, кожен з яких, з певною заданою ймовірністю α, дає можливість визначити або наявність, або відсутність одного з видів мультиколінеарності між факторами. А саме:

 критерій „ксі-квадрат” – χ² - дає можливість визначити чи існує взагалі мультиколінеарність між факторами.

‚ F-критерій Фішера - визначає мультиколінеарність одного фактора з рештою.

ƒ t-статистика - визначає мільтиколінеарність між парами факторів.

Для визначення наявності або відсутності мультиколінеарності факторів за методом Фаррара–Глобера необхідно:

1) для значень факторів побудувати кореляційну матрицю r

2) обчислити визначник Δr кореляційної матриці r

3) розрахувати фактичне значення критерію χ² за формулою:

n – кількість спостережень

m – кількість факторів

4) задати ймовірність α і для неї та числа знайти табличне значення критерію χ²

5) порівняти фактичне значення χ² з табличним. Якщо:

χ²_факт > χ²_табл => мультиколінеарність існує, переходимо до наступного кроку методу.

χ²_факт < χ²_табл => мультиколінеарності не існує, завершуємо даний метод

6) побудувати матрицю, обернену до кореляційної Z=r ^-1

7) для кожного із факторів знайти фактичне значення критерію Фішера

8) для ймовірності α і чисел k₁=n – m ; k₂= m – 1 знайти табл. значення F-критерію Фішера

F^табл = F(α; k₁; k₂)

9) порівняти фактичне значення критерію Фішера з табличним.

F_Xj^факт > F ^табл => фактор X_j є мультиколінеарним з рештою факторів;

F_Xj^факт < F ^табл => фактор з рештою факторів не колінеарний.

10) розрахувати для кожної пари факторів частинні коефіцієнти кореляції.

11) Для кожної пари факторів знайти фактичне значення t-статистики

12) Для ймовірності α та k = n – m знайти табличне значення t-статистики

t ^табл = t (α; k)

13) порівняти фактичне значення t-статистики з табличним:

=> фактори X_i, X_j – мультиколінеарні

=> фактори не мультиколінеарні

Після того, як виявлено по методу Фаррара–Глобера пару мультиколінеарних факторів, необхідно позбутись даного явища в силу його негативності. Для цього застосовують 2 методи усунення мультиколінеарності:

−> вилучення одного з мультиколінеарних факторів з розгляду

−> вводиться новий фактор X_i^* = X_i – X_j

Замість одного мультиколінеарного фактору розглядаюєься новий, але з попередньою його перевіркою на мультиколінеарність. Тобто знову здійснюють перевірку на мультиколінеарність за методом Фаррара–Глобера і у випадку її відсутності використовують новий фактор, наявності – використовують 1 метод.