3. Нечеткие множества

3.1 Основные определения

Необходимость введения нечетких множеств (НМ) обоснована тем, что по мере роста сложности систем падает наша способность делать точные и значащие утверждения относительно поведения системы.

Пусть U – универсальное множество объектов;

A – конечное размытое подмножество U и A = u_{i ;}  (u_i), где u_i  U, и  (u_i) – мера членства, которая указывает степень принадлежности к множеству U.

Если  (u_i) = 0,1, то  (u_i) – обычная булева функция. Лингвистические переменные “верно”, “совершенно верно”, “не вполне верно” могут рассматриваться как метки размытых множеств.

Таблица 1

	Классические системы	В размытом множестве
Предикаты	«истинно» и «ложно»	«высокий», «большой», «скоро» и т.д
Модификатор предиктов	отрицание	«очень», «более или менее», «вполне»
Кванторы	Существования, всеобщности	«несколько», «главным образом», «почти всегда».

Таблица 2. Пример 1: Понятие «высокий».

Рост	A (ui)
2.20 2.10 2.00 1.90 1.80 1.70 1.60	1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

Отличие _A (u_i) от функции распределения случайной велечины:  - функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а функция распределения – это объективный закон, независимый от отношения специалиста к этому явлению.

Определение: P(X_{1, ….,}X_n)  B - предикат_, где B – множество булевых переменных.

Определение: _^~ = ( X, F^~) – нечеткое отношение, где X – множество, F~ – нечеткое подмножество X². X – область задания, F^~- нечеткий график отношения.

Способы задания отношений – теоретико-множественный, матричный, графический и с помощью нечетких предикатов.

1. Теоретико-множественный: перечисление X= X_i и задание F^~ = _F (x_i, x_j), (x_i, x_j), где (x_i, x_j)X².

2. Матричный: задается матрица смежности R_ , где на пересечении i-ой строки и j – го столбца стоит r_ij = _F (x_i, x_{j ).}

3. Можно задать _^~ в виде графа с множеством вершин X, дугами (x_i, x_j), которым приписано _F (x_i, x_j).

4. _^~ = ( X, F^~) – нечеткое отношение, если _F (a,b)  F; a,b  X, то a _^~ b – нечеткое логическое высказывание, значение истинности которого _F (a,b).

Пример 2: Теоретико-множественное задание отношения “любит”.

Таблица 3

Имя	Имя	 (ui)
Джим Джон Джон Гарри Джейн Ирен Томи	Ирен Томи Мэри Джейн Том Джим Джон	1 0.7 0.6 0.4 0.2 0.9 0.8

1. Операции над нечеткими множествами

1. A  B  _A (u_i)  _B (u_i),  u_i  U - отношение вложения;

2. _Ā (u_i) = 1 - _A (u_i);  u_i U - отношение дополнения;

3. _AUB (u_i) = _A (u_i) v _B (u_i) или max {_A (u_i), _B (u_i)} – произведение нечетких множеств;

4. _A∩B (u_i) = _A (u_i) ∩ _B (u_i) или min {_A (u_i), _B (u_i)} - отношение суммы A и B;

5. _A (u_i) =  _A (u_i) ^ - u_i операция степени  нечеткого множества А;

Бинарные операции:

6. _AB (u_i) = _A (u_i)  _B (u_i) - алгебраическое произведение;

7. _AB (u_i) = max _A (u_i) + _B (u_i) –1, 0 - граничное произведение.