1. Представление сетей на основе сетевых графов. Задача поиска максимального потока в сети. (типис)

Потоковая модель – это модель, построенная на основе особого типа графов – сетевых графов.

Дуги являются трубами пропускной способностью равной их весу. Вершины - узлами сопряжения труб. Графы такого типа обычно называются сетями.

Объекты, перемещаемые по дугам таких графов, называются единицами потока.

Количество единиц потока, перемещаемых по дуге, называется потоком в дуге.

Дуги являются ориентированными, т.е. единицы потока могут перемещаться только в одну сторону.

Если по условию задачи существует прямой и обратный поток, то вводится две противоположных дуги.

С помощью моделей данного типа (сетевых моделей) решаются задачи:

a) Расчет характеристик потоков в трубах.

b) Расчет характеристик транспортных систем города.

c) Расчет характеристик грузопотоков в производстве.

Характеристики сети

1) Cij - Пропускная способность дуги ij . Это количество единиц потока, которые может пропустить дуга. Больше этой величины поток в дуге не может принимать значения .

2) Fij - Величина потока по дуге. Это количество единиц потока, перемещаемых по дуге.

3) Div ( V ) . Количество потока вытекающего из вершины V.

Div ( V ) =åFiv - åFvj

В зависимости от величины Div вершины V подразделяются на: 1) Вершины истоки - S. Это вершины, у которых. Div < 0. Если вершин истоков несколько, то их сводят в одну, соединяя с мнимым источником S₀ дугами бесконечной пропускной способности; 2) Вершина называется стоком - T, если Div > 0; 3) Вершины промежуточные Div=0

Количество потока вытекающего из истока = втекающему в сток.

Div ( T ) = Div ( S )

Стандартный сетевой граф должен иметь одну вершину сток и одну вершину исток. Если по условию задачи существует несколько вершин истоков или стоков, то делается следующее преобразование:

- вводится общий мнимый исток S₀

- S₀ соединяется дугами с частными вершинами истоками

- для частных вершин истоков устанавливается нулевой порождаемый поток

- пропускная способность для дуг соединяющих общий исток с частными устанавливается равной порождаемому потоку в соответствующей вершине до преобразования

- порождаемый поток в общей вершине истоке устанавливается равным бесконечности

Общие характеристики сетевого графа.

Основной характеристикой сетевого графа является его пропускная способность, т.е. сколько единиц потока может переместиться из истока в сток при неограниченном порождаемом потоке в истоке.

Пропускная способность сетевого графа определяется с одной стороны пропускной способностью составляющих дуг, с другой их последовательностью соединения.

Пропускная способность определяет величину установившегося потока в сети, т.е. когда единицы потока достигли стока и подача единиц из истока не ограничена.

Кроме установившегося, различают начальный поток сети – это поток, в котором не все единицы достигли стока, и конечный поток-это поток, когда подача единиц потока в истоке прекращена, однако в сети единицы потока еще присутствуют.

Методы задания сетевых графов.

1) Графический

2) С помощью двух матриц смежности C и F

Алгоритм расчета максимальной пропускной способности сети (величины установившегося потока).

Исходные данные.

Дано: GáU,Vñ - ориентированный граф, который является сетью.

С(N,N) - матрица смежности, задающая пропускную способность дуг графа.

Найти: W = Sf sj =Sf is - количество потока, протекающего по сети.

Алгоритм поиска максимального потока построен на поиске увеличивающих цепей для какого-либо начального потока.

Цепь является увеличивающей, если она состоит из дуг, позволяющих увеличить достигнутый в ней результирующий поток. Дуги, позволяющие увеличить результирующий поток в цепи, называются допустимыми. Дуга является допустимой, если поток в ней совпадает с направлением цепи и имеет значение меньшее, чем пропускная способность. Такие допустимые дуги называются согласованными. Величина, на которую согласованная дуга позволяет повысить поток по цепи рассчитывается как разность между ее пропускной способностью и достигнутой величиной потока.

Кроме того, допустимой является дуга, в которой поток совпадает с направлением цепи. Такие допустимые дуги называются несогласованными. Величиной, на которую позволяет увеличить поток в цепи несогласованная дуга является достигнутое в ней значение потока.

Результирующий поток по цепи определяется потоком в самой "узкой" дуге , то есть дуге с минимальным потоком, следовательно величина на которую можно увеличит результирующий поток определяется минимальным значением увеличения, определенным для всех дуг.

1. Задаться любым потоком, можно нулевым, т.е. потоком в котором во всех трубах поток нулевой f ij = 0.

1. По любому алгоритму поиска найти увеличивающую цепь, соединяющую источник и сток.

Если такая цепь есть то: пересчитать потоки, передаваемые по ее дугам, c учетом достигнутой величины увеличения . Переход к п.1, иначе: переход к п.2

2. Подсчитать W - величину потока, вытекающего из истока

W = Sf sj

Для поиска увеличивающей цепи можно использовать алгоритм поиска в ширину, в котором из всех смежных дуг для дальнейшего следования необходимо брать только допустимые дуги и из них отдавать предпочтения тем, которые обеспечивают максимальную величину увеличения потока.

Лучшие результаты обеспечивают алгоритмы, в которых для поиска увеличивающей цепи используется методы направленного поиска цепи с наименьшей длинной (алгоритм Дейкстры), где в качестве критерия оптимальности принимается величина наибольшего увеличения результирующего потока. Критерий "Макси-мина".