6.5. Нормальное распределение: определение и вариации.

Мы уже знакомы с понятиями «распределение», «полигон» (или «частот­ный полигон») и «кривая распределения». Частным случаем этих понятий яв­ляется «нормальное распределение» и «нормальная кривая». Но этот частный вариант очень важен при анализе любых научных данных, в том числе и пси­хологических. Дело в том, что нормальное распределение, изображаемое гра­фически нормальной кривой, есть идеальное, редко встречающееся в объектив­ной действительности распределение. Но его использование многократно облегчает и упрощает обработку и объяснение получаемых в действительноста данных. Более того, только для нормального распределения приведенные коэффициенты корреляции имеют истолкование в качестве меры тесноты свя­зи, в других случаях они такой функции не несут, а их вычисление приводит к труднообъяснимым парадоксам.

В научных психологических исследованиях обычно принимается допуще­ние о нормальности распределения реальных данных и на этом основании про­изводится их обработка, после чего уточняется и указывается, насколько ре­альное распределение отличается от нормального, для чего существует ряд специальных статистических приемов. Как правило, это допущение вполне приемлемо, так как большинство психических явлений и их характеристик имеют распределения, очень близкие к нормальному.

Так что же такое нормальное распределение и каковы его особенности, привлекающие ученых? Нормальным называется такое распределение вели­чины, при котором вероятность ее появления и непоявления одинакова. Клас­сическая иллюстрация — бросание монеты. Если монета правильна и броски выполняются одинаково, то выпадение «орла» или «решки» равновероятно. То есть «орел» с одинаковой вероятностью может выпасть и не выпасть, то же касается и «решки».

Мы ввели понятие «вероятность». Уточним его. Вероятность — это ожидаемая частота наступления события (появления — не появления величины). Выража­ется вероятность через дробь, в числителе которой — число сбывшихся событий (частота), а в знаменателе — предельно возможное число этих событий. Когда выборка (число возможных случаев) ограниченна, то лучше говорить не о веро­ятности, а о частости, с которой мы уже знакомы. Вероятность предполагает бес­конечное число проб. Но на практике эта тонкость часто игнорируется.

Пристальный интерес математиков к теории вероятности в целом и к нор­мальному распределению в частности появляется в XVII веке в связи со стрем­лением участников азартных игр найти формулу максимального выигрыша при минимальном риске. Этими вопросами занялись знаменитые математи­ки Я. Бернулли (1654-1705) и П. С. Лаплас (1749-1827). Первым математи­ческое описание кривой, соединяющей отрезки диаграммы распределения вероятностей выпадения «орлов» при многократном бросании монет, дал Аб­рахам де Муавр (1667-1754). Эта кривая очень близка к нормальной кривой, точное описание которой дал великий математик К. Ф. Гаусс (1777—1855), чье имя она и носит поныне. Каждому психологическому (или шире — биологическому) свойству соот­ветствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (о). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандар­тное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения График и формула нормальной (Гауссовой) кривой выглядит следующим образом.

На рис. 5.4 построен график нормального распре­деления для М = 0 и σ = 1. Это и есть единичное нормальное распределение, кото­рое используется как стандарт — эталон. Рассмотрим его важные свойства:

1. Среднее (М), мода (Мо) и медиана (Me) совпадают.

2. Единицей измерения единичного нормального распределения являет­ся стандартное отклонение.

3. Кривая симметрична относительно М= 0. Ее асимметрия и эксцесс рав­ны нулю.

4.Однозначно определяется всего лишь двумя параметрами — М и σ.

5. «Ветви» кривой никогда не пересекают абсциссу Z, асимптотически к ней приближаясь.

6. Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на рас­стоянии в одну σ от М.

7. Для единичной кривой: Р_м = 0,3989, а площадь под кривой в диапазоне: - σ до +σ = 68,26%; -2σ до + 2σ - 95,44%; -3σ до +3σ = 99,72%.

8. Для неединичных нормальных кривых (М ≠ 0, σ ≠ 1) закономерность по площадям сохраняется. Разница — в сотых долях.

9. При М = 0 и σ =1 получаем единичную нормальную кривую, так как площадь под ней равна 1.

Последнее свойство объясняет название единичное нормальное распреде­ление и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчиво­сти (от — ∞ до +∞). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина ге­неральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина — меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупнос­ти значений признака в диапазоне от Z₁ до Z₂ равна площади под кривой, ле­жащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нор­мальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем Z-преобразования.

Таким образом:

• если х₁ имеет нормальное распределение со средним М и стандартным отклонением σ, то z=(х—М_х)/σ характеризуется единичным нормаль­ным распределением со средним 0 и стандартным отклонением 1;

• площадь между х₁ и х₂ в нормальном распределении со средним М, и стандартным отклонением σ равна площади между z₁ = (х₁ - М_х)/σ и Z₂=(х₂ — М_х)/σ в единичном нормальном распределении.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одни­ми и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стан­дартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М±σ соответствует примерно 68% (точно — 68,26%) площади;

М±2σ соответствует примерно 95% (точно — 95,44%) площади;

М±Зσ соответствует примерно 100% (точно — 99,72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаен в генераль­ной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на сле­дующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от —1σ до +1σ? Или какова вероятность того, что случайно выбран­ный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на 3σ превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68,26% всей генеральной совокупности, так как от -1 до +1 содержится 0,6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100-99,72)/2 = 0,14%.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то: