2.2. Методические указания по расчету параметров индуктора для установки индукционного нагрева периодического действия

Физические основы индукционного нагрева

Под воздействием переменного электромагнитного поля, созданного током, протекающим по обмотке индуктора с числом витков w₁ (рис.1) в массивном металлическом теле индуцируется ЭДС. Величена ЭДС при синусоидальном изменении поля ( ) будет определяться согласно закону электромагнитной индукции

, (1)

где - максимальное значение наведенной ЭДС;

- число витков вторичного контура электрического тока в массивном теле; - круговая частота, рад/с.

Действующее значение наведенной ЭДС

. (2)

Под воздействием этой ЭДС в массе металла согласно закону Ома протекает контурный ток, называемый “вихревым” (см. рисунок 2.1)

, (3)

где z₂ – полное эквивалентное сопротивление “вихревого” тока.

При протекании данного тока тело нагревается согласно закону Джоуля - Ленца, т.е. в нем выделяется тепловая мощность

, (4)

где r₂, x₂ – активное и индуктивное сопротивление контура “вихревого” тока.

Также этим током создается магнитное поле, препятствующее проникновению волны внешнего электромагнитного поля вглубь детали. Поэтому напряженности электрического поля Е и магнитного поля Н экспоненциально убывают по мере удаления вглубь от поверхности.

Согласно (4) для повышения мощности нагрева можно применить следующие мероприятия:

1) Увеличение магнитного потока, сцепляющегося с контуром материала. Для этого следует увеличить МДС индуктора ( ), что допустимо только до определенного предела вследствие ограничений по допустимой плотности тока и конструктивным размерам, или применять стальной сердечник для снижения сопротивления магнитному потоку на тех участках, где он проходит не по нагреваемому телу.

2) Повышение частоты, для чего индуктор подключают к источнику повышенной частоты.

Данное объяснение индуктивного переноса энергии дает наглядное качественное представление об этом процессе, но при этом остается неопределенным величины активного и индуктивного сопротивления нагреваемого тела, зависящее от вида материала, его конструктивных размеров и частоты поля.

Наиболее точнее количественные соотношения возможно получить при использовании для исследования электромагнитных процессов металлических тел уравнений Максвелла (пренебрегая токами смещения)

, , (5)

, , (5)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического поля,

- вектор магнитной индукции

- плотность тока проводимости.

Для решения уравнений (5) используется прямоугольная система координат. Векторы напряженности магнитного и электрического поля на поверхности тела H₀ и В₀ направляются соответственно по координатам x и y (см. рис.2). Координата z направляется вглубь металлического тела, вдоль нее будет происходить распространение электромагнитной волны. Подставим в уравнения (5) значения B и  :

, , (6)

где  - удельная проводимость,

 - удельное электрическое сопротивление,

- абсолютная магнитная проницаемость.

Без учета краевого эффекта и пологая синусоидальное изменение Н₀, Е₀, после решения уравнения (5) получаем:

, (7)

Отсюда следует, что при увеличении координаты Z амплитуды Е_m и H_m уменьшается по показательному закону. Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается амплитуда падающей волны, по мере проникновения в проводящую среду вводят понятие глубины проникновения . Под  понимают расстояние вдоль направления распространения волны, на котором амплитуда падающей волны (Е_m и H_m) уменьшается в е = 2,7183 раз. Т.о., по определению, при подставлении  вместо координаты Z получаем:

, к=1, , (8)

где к – показатель степени;

. (9)

Рисунок 2.1- Качественное объяснение индуктивного переноса энергии

Э

Рисунок 2.2- Зависимость амплитуд электромагнитных волн в математическом

полуограниченном теле от отношения Z/

лектромагнитная волна ослабляется по мере удаления от поверхности вглубь тела по координате Z тем быстрее, чем меньше глубина проникновения волны . На расстояние Z= от поверхности амплитуды Е_m и H_m падают до значений:

, (10)

Ослабление волны происходит вследствие поглощения средой энергии этой волны. На некотором расстоянии от поверхности поводящего тела волна практически поглощается им (см. рисунок 2.2). Энергия, которая поглощается телом, определяется вектором поверхностной плотности потока электромагнитной энергии (вектором Умова-Пойтинга):

, , (11)

где - комплексная величина, сопряженная с .

После решения уравнения (11) получается:

. (12)

Мнимая и действительная часть равны, т.е. активный поток энергии P равен реактивному потоку Q. Коэффициент мощности при нагреве плоского полуограниченного тела:

, (13)

Тепловая мощность, выделяемая в слое металла толщиной ,

. (14)

Поток энергии на глубине  уменьшается в е² = 7.4 раз, по сравнению с потоком энергии на поверхности (Р₀) и составляет 0.136 Р₀ (см. рисунок 2.2). В слое толщиной  поглощается 86.4% всей энергии; прошедшей через поверхностный слой тела.

Для практического расчета  и мощности, поглощаемой телом, используем выражение:

; (15)

где  - относительная проницаемость металла, о.е; - магнитная постоянная, Гн/м; f - частота электромагнитного поля, Гц; w_1,0 - число витков на 1 метр длины индуктора, 1/м.

Анализ показывает, что КПД:

а) увеличивается при увеличении относительного радиуса детали;

б) уменьшается с увеличением зазора между деталью и индуктором;

в) увеличивается при увеличении коэффициента заполнения индуктора;

г) возрастает при нагреве материалов с более высоким удельным электрическим сопротивлением (при нагреве медным индуктором медной детали КПД при идеальных условиях может достигнуть только 0.5).

Увеличение частоты заметно улучшает КПД лишь до некоторого предела, после которого он почти не меняется. Верхний предел частоты тока получается из условия минимума тепловых потерь энергии, которые увеличивается при высоких частотах вследствие перегрева поверхности слоя детали.

Минимальную и максимальную частоты индуктора (интервал частот) рассчитываются по формуле:

. (16)

В настоящей работе по рассчитанному диапазону частот выбирается источники питания из следующего ряда стандартных частот: 500, 1000, 2500, 4000, 8000 Гц.

При выводе вышеприведенных формул не учитывались многие явления, которые в действительности имеют место при индукционном нагреве. Ток, в процессе нагрева изменяется и глубина проникновения тока и мощность, потребляемая нагреваемым телом, поскольку  и  тела изменяются в процессе нагрева в зависимости от напряженности магнитного поля.

Для ферромагнитных материалов при t = 730-770⁰C (область магнитных превращений) относительная магнитная проницаемость  уменьшается от значения 50-100 до1 (для немагнитных материалов  всегда рана 1), поэтому глубина проникновения резко увеличивается, а поглощаемая мощность уменьшается. Фактически график нагрузки не имеет такого резкого скачка, так как нагрев металла происходит постепенно, от слоя к слою, и поэтому в каждый момент времени существуют слой с различными значениями  и .

Упрощенный расчет индуктора

Магнитная и электрическая схемы замещения системы одновитковый индуктор – металлический цилиндр.

На рисунке 2.3 приведена примерная картина магнитного поля индуктора длиной h₁, внутри которого находится нагреваемая деталь длиною h₂h_1. Здесь же дана магнитная схема замещения и составлена электрическая схема замещения по полному магнитному потоку индуктора.

где - магнитное сопротивление пути обратного замыкания магнитного потока;

_- магнитное сопротивление отрезка h₁ системы;

I₁ – действующее значение тока в индукторе;

W – число витков индуктора;

- магнитный поток идеализированного бесконечного индуктора;

Магнитное сопротивление отрезка системы можно выразить через его составляющие:

где - магнитное сопротивление воздушного зазора; - реактивное сопротивление, определяемое магнитным потоком, проходящим через воздушный зазор; - магнитное сопротивление загрузки (детали); - электрическое сопротивление загрузки (детали).

Данная магнитная схема справедлива при учете следующих допущений:

1. МДС индуктора ( ) обеспечивает проведение магнитного потока внутри индуктора и на всем пути его обратного замыкания, причем все витки индуктора охватываются одним и тем же магнитным потоком.

2. Внутри индуктора магнитные линии параллельны оси и магнитный поток на длине h₂ проходит по загрузке и по зазору в виде двух составляющих: - поток в загрузке, - поток рассеяния; на остальном пути общим потоком .

Магнитной схеме замещения соответствует электрическая схема замещения (рисунок 2.3, б, в) и векторная диаграмма (рисунок 2.3, г).

В электрической схеме замещения приняты следующие обозначения:

- активное и внутреннее реактивное сопротивление индуктора;

- активное и внутреннее реактивное сопротивление загрузки, приведенное к току индуктора; - внешнее реактивное сопротивление обратного контура; - реактивное сопротивление, обусловленное воздушным зазором между индуктором и загрузкой.

За основу построения векторной диаграммы взят магнитный поток, который создается током ( - токи, протекающие в индукторе и загрузке).

ЭДС загрузки отстает от потока на угол 90 (согласно закону электромагнитной индукции ). Величина определяется согласно второму закону Кирхгофа:

(17)

На рисунке 2.3а показано упрощенное распределение магнитной индукции (В) в воздушном зазоре, индукторе, детали и распределение плотности тока () в материале индуктора и детали. Здесь же показана глубина проникновения электромагнитной волны в материал индуктора (₁) и заготовки (₂).

Расчет параметров электрической схемы замещения системы одновитковый индуктор – металлический цилиндр.

а) Активное и индуктивное сопротивление индуктора.

Индуктор представляется в виде полого цилиндра с толщиной стенки, равной . В этом случае активное сопротивление реального индуктора рассчитывается как омическое сопротивление приведенного индуктора, Ом:

, (18)

где - коэффициент заполнения индуктора; равный отношению высоты витка без изоляции к шагу витка (зависит от конструкции индуктора и вида изоляции, принимается обычно равным от 0,75 до 0,9);

- глубина проникновения волны в материал индуктора, м;

- удельное электрическое сопротивление медного индуктора, берется в расчетах при температуре охлаждающей его воды 50  С равным 210^-8 Омм.

Внутреннее реактивное сопротивление индуктора

, (19)

где - сдвиг фаз между напряженностями электрического и магнитного полей в металле индуктора. При соблюдении условия :

и (20)

б) Активное и индуктивное сопротивление детали, Ом/виток²

Загрузку также можно представить в виде полого цилиндра с толщиной стенки , и рассчитать его омическое сопротивление:

(21)

Однако данная формула будет давать удовлетворительные результаты при >16, т.е. при больших диаметрах загрузки, поэтому рекомендуется вести расчет по следующим выражениям:

(22)

где - относительный радиус загрузки;

А, В – вспомогательные функции, определяемые по рисунку 2.4 или по упрощенным выражениям, приведенным в таблице 2.7.

Таблица 2.7 - Приближенные формулы для расчета коэффициентов А и В

	А	В	Погрешность, %, не более
 1	 8	1	1
 3			6
 6			5

В

А

0,9

0,36

0,8

0,32

0,7

0,28

0,6

0,24

0,5

0,20

А

0,4

0,16

0,3

0,12

В

0,2

0,08

0,1

0,04

10

8

6

4

2

0

14

12

R₂

Рисунок 2.4 - Вспомогательные функции для определения активного и реактивного сопротивления загрузки

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

d₁/h₁

6

5

4

3

2

0

1

8

9+

10

7

Рисунок 2.5 - Поправочный коэффициент для вычисления реактивных сопротивлений x₁ и x₀

в) Реактивное сопротивление рассеяния, Ом/виток²:

(23)

где - магнитная проницаемость воздушного зазора;

- площадь воздушного зазора.

г) Реактивное сопротивление обратного замыкания, Ом/виток²:

(24)

где - реактивное сопротивление отрезка пустого индуктора бесконечной длины,

к – поправочный коэффициент, учитывающий концевые эффекты короткого индуктора (коэффициент Нагаока), определяемый по рисунку 2.5, или ориентировочно по следующей формуле:

д) Приведение параметров электрической схемы замещения, определение сопротивлений упрощенной схемы замещения (рисунок 2.3в)

• приведенное реактивное сопротивление, Ом/виток²:

• , (25)

где С – коэффициент приведения параметров,

(26)

• приведенное реактивное сопротивление, Ом/виток²:

(27)

• эквивалентное сопротивление индуктора упрощенной схемы замещения, Ом/виток²:

, , (28)

Расчет параметров индуктора и системы индуктор-загрузка

а) Электрический КПД одновиткового индуктора

(29)

б) Коэффициент мощности одновиткового индуктора

(30)

в) Потребная мощность в загрузке (см рисунок 2.7), кВт:

, (31)

где 1,05 – коэффициент, учитывающий потери в металлических направляющих, по которым перемещается деталь;

- полезная мощность, мощность идущая на нагрев детали;

- мощность тепловых потерь.

Порядок расчета и приведен ниже.

г) Активная мощность индуктора:

, (32)

где - термический КПД.

д) Число витков индуктора при заданном напряжении на индукторе :

(33)

Аналогичный результат получается при последовательном выполнении следующих операций:

• ток в одновитковом индукторе из формулы

(34)

- напряжение на одновитковом индукторе (35)

- число витков индуктора (36)

е) Активное, реактивное и полное сопротивление системы индуктор-загрузка:

, , (37)

ж) Ток индуктора:

(38)

з) Плотность тока в индукторе:

(39)

и) Размеры трубки индуктора:

• толщина внутренней стенки

; (40)

• высота (ширина) трубки

(41)

Расчет технических характеристик установки индукционного нагрева с многовитковым индуктором.

а) Активная мощность индуктора:

(42)

б) Естественный коэффициент мощности индуктора:

, (43)

Установки индукционного нагрева имеют низкий естественный . Для улучшения их энергетических характеристик параллельно индуктору обычно подключают конденсаторную батарею (рисунок 2.6). Емкость конденсаторной батареи выбирается так, чтобы схема работала в режиме резонанса токов, чему соответствует показанная на рисунке 2.6б векторная диаграмма. Благодаря подключению конденсаторов источник питания и подходящая к установке цепь не загружается реактивным током индуктора. Чтобы только минимальный участок токопровода был загружен большим контурным током индуктора ( ) и конденсатора ( ), конденсаторную батарею следует располагать возможно ближе к индуктору.

в) Мощность компенсирующих конденсаторов, квар:

(44)

г) Реактивное сопротивление компенсирующих конденсаторов:

(45)

или из условий резонанса токов (см. рисунок 2.6б):

,

при допуске

(45)

где - соответственно емкостная и индуктивная проводимость схемы;

- емкостное сопротивление конденсаторной батареи;

- сопротивление, соответствующее потерям активной мощности в конденсаторах.

д) Емкость компенсирующих конденсаторов, мкФ:

(46)

е) Число конденсаторов:

(47)

где - номинальная мощность одного конденсатора при номинальном напряжении ;

- фактическое напряжение на индукторе.

При выборе предусматривается запас по количеству конденсаторов в размере 25-30%, чтобы учесть выход из строя в процессе эксплуатации, а также возможный разброс емкости реальных конденсаторов  20%. Поэтому окончательное количество конденсаторов:

(48)

ж) Электрический КПД многовиткового индуктора

Вычисляется как отношение двух сечений энергетического потока (см, рис.13)

(49)

и сравнивается с предельным значением КПД по формуле (23).

Расчет энергетических характеристик установки индукционного нагрева.

Энергетический баланс установки

Схема электроснабжения и структурная схема преобразования энергии в установке индукционного нагрева с соответствующими ей ступенями энергетического потока приведены на рисунке 2.7. Энергетический баланс установки выявляет соотношение между общим количеством энергии, потребляемой из электрической сети, полезным расходом и величиной электрических и тепловых потерь. В процессе эксплуатации действующих установок он позволяет выявить статьи нерационального расхода электроэнергии. При проектировании новых установок энергетический баланс обеспечивает обоснованность выбора мощности источника питания, по которой подбирается ближайший по мощности выпускаемый преобразователь частоты.

Уравнение энергетического баланса мощностей.

(50)

где - мощность, потребляемая из сети;

- теоретически необходимая мощность для нагрева заготовки;

- соответственно мощность электрических и тепловых потерь.

Рассмотрим все составляющие энергетического баланса

1. Полезная мощность, идущая на нагрев заготовки:

(51)

где с – удельная теплоемкость материала детали, кДж/кгС;

- масса загрузки ( - плотность, кг/м³);

- соответственно конечная и начальная температура металла;

- время нагрева, с.

+j



+1



Рисунок 2.6 - Схема параллельного включения индуктора и конденсаторной батареи (а) и соответствующая ей векторная диаграмма (б)

Рисунок 2.7 - Схема электроснабжения и структурная диаграмма энергетического потока установки индукционного нагрева

2)Мощность тепловых потерь

Рассчитывается на основе закона Фурье как мощность передаваемая теплопроводностью от внутренней поверхности к наружной (соприкасающейся с индуктором) через однослойную цилиндрическую футеровку:

(52)

где - соответственно, внутренняя и наружная температуры тепловой изоляции (футеровки); для расчетов принимают (конечная температура нагретой заготовки), (температура охлаждающей воды на выходе из индуктора);

- тепловое сопротивление футеровки

(53)

- коэффициент теплопроводности шамота, в упрощенных расчетах принимают ;

, (м)

где - соответственно, наружный и внутренний диаметр тепловой изоляции (см.рисунок 2.3а).

Сумма полезной мощности и мощности тепловых потерь составляют ту сумму, которую необходимо передать электромагнитным путем, от индуктора в заготовку (деталь):

(54)

1,05 – коэффициент, учитывающий потери в направляющих.

2. Электрические потери установки, мощность электрических потерь.

(55)

где - мощность потерь в индукторе;

- мощность потерь в конденсаторах;

м – мощность потерь в подводящей сети (токопроводах);

- мощность потерь в источнике питания (преобразователе).

а) Мощность электрических потерь в индукторе

Вычисляется на основе электрического КПД индуктора. Рассматривая два сечения энергетического потока (рисунок 2.7):

отсюда

(56)

б) Мощность потерь в конденсаторах:

(57)

где - тангенс угла диэлектрических потерь, .

в) Мощность потерь в подводящей сети:

(58)

где I – ток от источника питания до колебательного контура;

- сопротивление участка подводящей сети. В настоящей контрольной работе принять Ом.

г) Мощность потерь в преобразователе частоты:

(59)

где - мощность, снимаемая с преобразователя частоты; - КПД преобразователя частоты, для машинных преобразователей частоты , для тиристорных преобразователей частоты .

3. Выбор источника питания, определение КПД установки.

В соответствии с выбирается ближайший по мощности выпускаемый промышленностью источник питания.

Общий КПД установки:

(60)

Электрический КПД:

Термический КПД:

КПД индуктора:

4. Расчет статей энергетического баланса и показателей работы установки.

Так как мы рассматриваем установку периодического действия с непрерывным режимом работы, то целесообразно построить энергетический баланс за 1 час работы. Для этого все полученные величины мощности умножаем на время 1 час и получаем значение расходных статей энергии, выраженные в кВтч.

Производительность работы, т/час:

Удельный расход электроэнергии, в кВтч/т: