3.2. Приклади рішення типових завдань

Приклад 1. За інвестиційним проектом вартістю 30 млн. грн. передбачають грошові надходження р ₁ = 10 млн. грн., р ₂ - 16 млн. грн., р ₃ = 15 млн. грн. Візначте чистий приведений дохід за проектом, якщо ставка дисконту становить 15%.

Для розрахунку складемо таблицю і визначимо чистий приведений дохід.( див. табл. 3.1. )

Таблиця 3.1

					(млн. грн.)
Рік,n	Грошовий потік	Дисконтний множник (1/1+0.15)n	(1%)		Дисконтований грошовий потік
0-й	-30	1,0			-30
1-й	10,0	0,8696			8,696
2-й	16,0	0,7561 0			12,0976
3-й	15,0	0,6575			9,8625
	Чистий приведений дохід (NРV)		+ 0,6561		(млн. грн.)

В нашому випадку NРV = (+ 0,6561) > 0, таким чином, проект варто приймати до реалізації.

Приклад 2. Купівля облігації при первинному інвестуванні 75 грв., приведе до отримання в майбутньому грошей у кількості 100 грв. Альтернативним варіантом вкладення грошей може вважатися їхнє приміщення на банківський рахунок під 8% річних.

Скориставшись формулою, ми отримаємо, що майбутня вартість грошей на банківському рахунку складе:

FV = 75 грв .* 1,08⁵ = 110, 20 грв.

Цілком очевидно, що ця сума значно вища, ніж 100 майбутніх доларів, одержуваних при погашенні ощадної облігації. Таким чином, ми приходимо до висновку, що ощадна облігація є найгіршим варіантом інвестування. У прикладі альтернативна вартість капіталу від приміщення грошей у банк складає 8% річних. Залишається з'ясувати: яка буде відсоткова ставка по вашому внеску, якщо ви вкладете 75 грв. в ощадну облігацію сьогодні? Іншими словами, ми хочемо знайти i. Для цього необхідно вирішити наступне рівняння:

100 грв = 75 грв × (1 + i)⁵.

Цей показник називається ставкою прибутковості при погашенні облігації, або внутрішньою ставкою прибутковості (IRR).

Внутрішня ставка прибутковості являє собою таке значення дисконтної ставки, яке зрівнює приведену вартість майбутніх надходжень і приведену вартість витрат. Іншими словами, IRR дорівнює відсотковій ставці, при якій NPV дорівнює нулю. Таким чином, якщо ставка, при якій NPV дорівнює нулю (тобто IRR) вище, ніж альтернативна вартість капіталу, то може бути прийнято позитивне рішення по розглянутій інвестиції. І навпаки, якщо ставка IRR нижче, ніж альтернативна вартість капіталу, то такий інвестиційний проект слід відхилити.

Повернемося до нашого прикладу:

i = ^1/5 − 1 = 0,0592 або 5,92%

Таким чином, прибутковість облігації при її погашенні (IRR) становить 5,92% на рік. Цей результат можна порівняти з 8%, які ви могли б отримати, якби помістили гроші в банк. Цілком зрозуміло, що вигідніше покласти гроші в банк.

Приклад 3. Нехай, ви маєте намір відкладати по 100 грв. щороку протягом наступних трьох років. Скільки грошей у вас накопичиться до кінця цього періоду, якщо відсоткова ставка дорівнює 10% річних?

Якщо ви почнете відкладати гроші відразу, то у вас буде:

FV = 100 грв. × (1,1 + 1,1² + 1,1³) = 364,1 грв.

Отриманий результат є майбутньою вартістю щорічних платежів. Коефіцієнт, на який множиться 100 грв., являє собою майбутню вартість 1 грв. річного платежу для кожного року з трьох років.

Такого роду розрахунки зручніше проводити за допомогою Excel. Уявімо наші вихідні дані в таблиці 3.2.

Таблица 3.2

Майбутня вартість щорічних платежів (негайний ануїтет)

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
3	10,00%	0	-100	364,10

У формульному виді ця таблиця в Excel має слідуючий вигляд:

КПЕР	Ставка	ПС	Плт	БС
3	0,1	0	-100	=БС(D6;C6;F6;;1)

При розрахунку майбутньої вартості ануїтету, безсумнівно, має значення вид ануїтету - негайний, як у нашому прикладі, або звичайний. У випадку зі звичайним ануїтетом перший внесок у розмірі 100 грв. робиться в кінці першого періоду. Хоча і в тому, і в іншому випадку кількість платежів однаково, при негайному ануїтет на загальну суму нараховуються відсотки за додатковий рік Таким чином, PV негайного ануїтету дорівнювала б PV звичайного ануїтету, помноженого на (1 + i).

Тоді, майбутня вартість щорічних 100 грв. внесків по нашому ощадному плану з урахуванням трирічного періоду дорівнює 364,10 дол в тому випадку, якщо перший внесок робиться на початку періоду (негайний ануїтет). У разі, якщо виплати здійснюються в кінці періоду (звичайний ануїтет), то майбутня вартість 100 грв дорівнює 331 грв. Розрахунок показаний у таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

Майбутня вартість щорічних платежів (звичайний ануїтет)

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
3	10,00%	0	-100	331,00

В формульному вигляді ця таблиця в Excel має слідуючий вид:

КПЕР	Ставка	ПС	Плт	БС
3	0,1	0	-100	=БС(D6;C6;F6;;0)

Відзначимо, що в обох випадках в Excel використовується функція БС. Різниця полягає в установці «0» або «1» в останньому параметрі функції БС, який визначає, коли починаються виплати ануїтету - на початку або в кінці першого періоду.

Приклад 4. Нехай нам необхідно знати, скільки грошей потрібно було б помістити у фонд, на який нараховується 10% річних для того, щоб мати можливість брати звідти по 100 грв щорічно протягом наступних трьох років?

Очевидно, що результатом буде приведена вартість, всіх трьох грошових платежів.

PV = 100 грв. × (1/1,1 + 1/1,1² + 1/1,1³) = 248,69 грв.

Отриманий результат є приведеною вартістю ануїтету. Таким чином, 248,69 грв. представляє собою всю суму, яку ви повинні покласти на рахунок для того, щоб мати можливість знімати по 100 грв. на рік протягом наступних трьох років.

Ці розрахунки також доцільно проводити за допомогою Excel, використовуючи функцію ПС. Приклад розрахунку показано у таблиці 3.4.

Таблиця 3.4

Приведена вартість ануїтету

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
3	10,00%	-248,69	100	0

Знак «-»означає відтік грошових коштів.

У формульному вигляді ця таблиця в Excel має наступний вигляд:

КПЕР	Ставка	PV	Плт	БС
3	0,1	=ПС(D11;C11;F11;;0)	100	0

Схема руху грошових коштів за даним прикладом наведена в таблиці 3.5.

Таблиця 3.5

Рух грошових коштів по трирічному ануїтету

Рік			Сума на початку року		Відсоткова ставка		Сума в кінці року		Періодичний платіж		Залишок
	1	248,69		1,1		273,56		100,00		173,56
	2	173,56		1,1		190,91		100,00		90,91
	3	90,91		1,1		100,00		100,00		0,00

Приклад 5. Нехай зараз Вам 65 років, і ви аналізуєте доцільність укладення договору довічного страхування (він теж називається ануїтетом) зі страховою компанією. Умови договору наступні: якщо Ви зараз вносите 10 000 грв., то страхова компанія зобов'язується виплачувати вам по 1 000 грв. на рік до кінця вашого життя. Слід зазначити, що мається альтернативний варіант. Він полягає в тому, що Ви можете покласти свої гроші на банківський рахунок під 8% річних. При цьому Ви сподіваєтесь прожити до 80 років.

При цьому виникають наступні питання. Чи має сенс укладати договір? Який розмір відсоткової ставки, яку Вам збирається платити страхова компанія? Скільки треба прожити для того, щоб виправдити придбання ануїтету?

Відповіді на поставлені питання можна отримати на основі розрахунку приведеної вартості виплат за договором довічного страхування (договір ануїтету) і порівняння розрахованої суми з вартістю ануїтету. Нехай це буде звичайний ануїтет. Отже, очікується 15 виплат по 1 000 грв. кожна, починаючи з віку 66 років і закінчуючи 80 роками. Приведена вартість цих 15 платежів при дисконтній ставці 8% річних представлена в таблиці 3.6.

Таблиця 3.6

Приведена вартість 15 - річного ануїтету

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
15	8,00%	-8559,48	1000	0

Іншими словами, для того, щоб регулярно отримувати ті ж самі 15 річних платежів по 1 000 грв. кожен, було б достатньо покласти 8559,48 грв. на банківський рахунок, який виплачує 8% річних.

Чиста приведена вартість, вкладенна в ануїтет, становить:

NPV = 8559,48 грв. - 10000 грв. = -1440,52 Грв.

Отже, можна зробити висновок про те, що укладати договір зі страховою компанією не варто.

Для того, щоб відповісти на таке питання необхідно знайти дисконтну ставку, завдяки якій NPV цього вкладу стає рівною нулю. Для того, що б знайти цю величину скористаємося таблицями Excel (див. табл. 3.7).

Таблиця 3.7

Відсоткова ставка по ануїтету, запропонована страховою компанією

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
15	5,56%	-10000,00	1000	0,00

У формульному вигляді ця таблиця в Excel має наступний вигляд:

КПЕР	Відсоткова ставка	ПС	Плт	БС
15	=СТАВКА(C16;F16;E16)	-10000	1000	0

Іншими словами, якби банк запропонував вам відсоткову ставку 5,56% річних, ви могли б покласти зараз на рахунок 10 000 грв. і знімати по 1 000 грв. на рік протягом наступних 15 років.

Щоб відповісти на третє поставлене питання про те, яку кількість років повинна прожити людина, для того, щоб виправдати придбання цього аннуїтету, ми повинні визначити значення n, за умови NPV, вкладу рівного нулю. І знову скористаємося можливостями Excel (див. табл.3.8).

Таблиця 3.8

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
21	8,00%	-10000,00	1000	0,00

У формульному вигляді ця таблиця в Excel має наступний вигляд:

Кількість років	Ставка	ПС	Плт	БС
=КПЕР(D21;F21;E21)	0,08	-10000	1000	0

Відповіддю на це питання є 21 рік. Отже, якщо ви проживете 21 рік, то страхова компанія розориться, забезпечуючи вам ануїтетні платежі з розрахунку передбачуваної ставки в 8% річних.

Приклад 6. Отже, Ви вирішили купити квартиру і вам потрібно зайняти 100 000 грв. Банк, в який ви звернулися, пропонує взяти іпотечний кредит з погашенням його протягом 30 років шляхом 360 щомісячних платежів. При цьому відсоткова ставка за кредитом становить 12% річних (зауважимо, що фактично мова йде про ставку 1% на місяць). Існує альтернативний банк, який пропонує вам 15 - річний іпотечний кредит із щомісячною виплатою 1 100 грв.

Вам необхідно вирішити яку пропозицію вибрати?

Сума щомісячної виплати 30-річного кредиту розраховується з урахуванням того, що період між виплатами становить 1 місяць (n = 360 місяців) і місячна відсоткова ставка дорівнює 1%. Для розрахунку скористаємося можливостями Excel (див. табл. 3.9)

Таблиця 3.9

Розрахунок щомісячних ануїтетних платежів 30-річного кредиту

Кількість платежів	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
360	1,00%	-100000,00	1028,61	0,00

У формульному вигляді ця таблиця в Excel має наступний вигляд:

КПЕР	Ставка	ПС	Періодичний платіж	БС
360	0,01	-100000	=ПЛТ(D26;C26;E26)	0

Таким чином, розмір щомісячного платежу становить 1028,61 грв. в місяць.

На перший погляд може здатися, що іпотечний кредит строком на 30 років більш вигідний, ніж 15-річний іпотечний кредит. Щомісячний платіж 1028,61 грв. для першого випадку менше, ніж 1100 грв. для другого. Однак за іпотечним кредитом терміном на 15 років доведеться зробити всього 180 платежів. Більш повну відповідь на поставлене запитання спочатку ми отримаємо, якщо визначимо місячну відсоткову ставку для 15-річного іпотечного кредиту. Результати розрахунку представлені в таблиці 3.10.

Таблиця 3.10

Визначення місячної процентної ставки 15 - річного кредиту

Кількість платежів	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
18	0,868%	100000,00	-1100	0,00

Розрахунок показує, що місячна відсоткова ставка для 15 - річного іпотечного кредиту становить 0,868%. Це істотно менше, ніж 1% по 30-літньому. Річна відсоткова ставка для 15 - річного іпотечного кредиту відповідно становитиме 10,42% проти 12% для 30 - літнього.

Отже, остаточний висновок полягає в тому, що іпотечний кредит строком на 15 років вигідніше.

Приклад 7. Давайте розглянемо безстроковий потік грошових виплат в 100 грв. на рік. Якщо відсоткова ставка складає 10% річних, то яка вартість цієї довічної ренти сьогодні? Відповідь буде тривіальним 1 000 грв.

Для того щоб зрозуміти, як ми отримали цей результат, давайте підрахуємо, скільки грошей треба покласти на банківський рахунок, за яким виплачується 10% річних з тим, щоб знімати по 100 грв. щороку до кінця віку. Нехай ви поклали на рахунок 1 000 грв. Тоді до кінця першого року у вас на рахунку було б 1 100 грв. Після того, коли ви зняли з рахунку 100 грв., У вас на рахунку залишилося б 1 000 грв. на другий рік. Абсолютно ясно, що якщо відсоткова ставка залишалася б на рівні 10% річних, то ви могли б продовжувати таку практику нескінченно.

Приклад 8. Нехай, ви берете кредит в 100 000 грв. на купівлю квартири під 9% річних. Повернення всієї суми з відсотками здійснюється трьома щорічними платежами. Спочатку визначимо річний платіж (див. табл.3.11).

Таблиця 3.11

Розрахунок щорічних платежів

Кількість платежів	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
3	9,00%	-100000,00	39505,48	0,00

Згідно розрахунку, річний платіж становить 39505,48 грв. Оскільки відсоткова ставка дорівнює 9% річних, частина, що приходиться на відсотки в перший рік, повинна бути дорівнювати 0,09 × 100 000, або 9 000 грв. Залишок від 39505,48 грв., або 30505,48 грв. представляє собою суму основного платежу від суми в 100 000 грв. Після першого платежу залишок боргу за позикою становить 100 000 грв. - 30505,48 грв., або 69494,52 грв.

Для другого року структура платежу зміниться. Частина, що приходить на виплату відсотків, складе 6254,51 грв. = 0,09 × 69494,52 грв. Залишок від 39505,48 грв. після розрахунку відсотків складе 33250,97 грв. Ця сума являє собою величину погашення основної суми позики у другий рік. Залишок після другої виплати дорівнює 36243,57 грв. = 69494,52 грв. - 33250,97 грв.

Третій і останній платіж покриває, як відсотки, так і основну суму і він дорівнює 36243,57 грв.

Приклад 9. Припустимо, що ви намагаєтесь вирішити, в якій із країн вам краще вкласти 10 000$ в цінні папери. Існує два варіанти. Перший варіант дозволяє придбати державні облігації США при ставці 6% річних. Другий дозволяє придбати казначейські папери Японії при ставці 4% річних. Японський проект буде приносити вам по 575 000 ієн доходу на рік. Надходження від американського проекту складуть 6 000$ на рік. Період, на який ви хочете розмістити ваші 10 000$, становить 5 років. Поточний обмінний курс долара складає 0,01 дол за ієну. Необхідно визначити, у якого проекту NPV вище?

Спочатку ми розрахуємо NPV американського проекту, використовуючи доларову відсоткову ставку 6% (див. табл. 3.13):

Таблиця 3.13

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
5	6,00%	25274,18	-6000	0

Потім віднімемо початкові витрати в розмірі 10 000 $ і знайдемо, що NPV = 15274 $.

Потім ми розраховуємо NPV японського проекту, використовуючи процентну ставку для ієн (див. табл. 3.14):

Таблиця 3.14

Кількість років	Відсоткова ставка	PV	Періодичний платіж	FV
5	4,00%	2559797,84	-575000	0

Переведемо PV японського проекту з ієн в долари за поточним обмінним курсом 0,01 дол. за ієну. В результаті отримуємо 25 598$. Віднявши початкові витрати в розмірі 10 000$, знаходимо, що для японського проекту NPV = 15 599$. Таким чином, NPV японського проекту вище, і саме на ньому вам слід зупинити свій вибір.