4.7 Задача о замене оборудования

Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами, старого оборудования на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.

Построим модель ДП для следующей задачи о замене оборудования. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: P – начальная стоимость оборудования; – стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; – ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста t лет; – ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

При составлении модели динамического программирования процесс замены рассматриваем как n-шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца и т.д.) принимается решение либо о сохранении оборудования , либо о его замене , поэтому управление на k-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (и/или условные затраты) при сохранении оборудования, другая – тот же показатель при замене оборудования.

Состояние системы в начале k-го шага – возраст оборудования. В конце k-го шага под влиянием управления система перейдет в состояние (возраст оборудования увеличится на один год). Под влиянием управления система из состояния перейдет в состояние (замену произвели в начале k-го года, возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояний имеет вид

Используя обратную вычислительную схему, получим рекуррентные соотношения Беллмана:

Полученное в результате решения задачи оптимальное управление представляет собой набор управлений и .

4.8 Пример решения задачи о замене оборудования

Решить задачу о замене оборудования, если n=5, P=10, , а разность задана таблично:

	0	1	2	3	4
	10	8	8	6	2

Этап I. Условная оптимизация (движение от конца к началу).

С помощью уравнений Беллмана вычисляем последовательно для всех допустимых состояний:

; ; ; ; .

Уравнение Беллмана для шага k=5 имеет вид

Поскольку начальное состояние 5-го шага есть возраст оборудования в начале 5-го шага, то может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Вычисление для k =4, 3, 2, 1 усложняются тем, что необходимо учитывать значения , полученные на предыдущих шагах. Запишем эти вычисления для шага k = 4.

Уравнение Беллмана имеет вид

Возраст оборудования в начале 4-го шага может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

, ;

, ;

, ;

,

и т. д. Заметим, что для случая выражение, соответствующее , принимает постоянное значение для фиксированного k. Вычисления оформляем в общую таблицу:

0	10	18	26	32	34
1	8	16	22	24
2	8	14	16
3	6	8
4	2

Этап II. Безусловная оптимизация (движение от начала к концу).

Используя уравнения состояний, восстанавливаем безусловное оптимальное управление:

.

Как видно из таблицы, для состояния условное оптимальное управление имеет два значения и . Сначала рассмотрим случай :

.

Получено оптимальное управление . В случае состояние . Этому состоянию также соответствуют два значения условного оптимального управления. Рассмотрим оба случая:

,

получено оптимальное управление ;

,

получено оптимальное управление .

Восстановление оптимальных управлений дает три оптимальных варианта эксплуатации оборудования в течение 5 лет:

, ,

.

Из последней колонки таблицы получаем значение максимальной прибыли от эксплуатации оборудования в течение 5 лет , если начинаем эксплуатировать новое оборудование .