4.5 Пример решения задачи о распределении ресурсов
Задача 1. Решить задачу распределения ресурсов по следующим данным:
1)
= 200 млн руб.;
2) n= 4;
3) средства выделяются только в размерах, кратных 40 млн руб.;
4) функции дохода заданы в таблице:
|
|
|
|
|
40 |
8 |
6 |
3 |
4 |
80 |
10 |
9 |
4 |
6 |
120 |
11 |
11 |
7 |
8 |
160 |
12 |
13 |
11 |
13 |
200 |
18 |
15 |
18 |
16 |
Решение.
Этап I. Условная оптимизация.
Последовательно
вычисляем
;
;
;
.
Считать начинаем с последнего шага
.
Уравнение Беллмана для этого шага имеет
вид (4.3)
,
где
– количество средств, остающихся после
выделения средств для предприятий
.
Вычисления оформляем в таблице:
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
40 |
80 |
6 |
80 |
120 |
8 |
120 |
160 |
13 |
160 |
200 |
16 |
200 |
Вычисления на
последующих шагах осложняются тем, что
необходимо учитывать найденную из
предыдущего шага функцию
.
Рассмотрим подробно вычисления для шага k =3. Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид:
.
Запишем вычисление
для всех допустимых значений
.
,
;
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
Эти вычисления оформляем в таблицу для шага k=3:
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
4 |
0 |
80 |
7 |
40 |
120 |
9 |
40 |
160 |
13 |
0 |
200 |
18 |
200 |
Вычисления для шага k=2 проводятся аналогично. В результате получается таблица:
|
|
|
0 |
0 |
0 |
40 |
6 |
40 |
80 |
10 |
40 |
120 |
13 |
80 |
160 |
16 |
80 |
200 |
13 |
40 |
Поскольку начальное состояние фиксировано (общее количество выделяемых средств), то для шага k=1 вычисления проводятся только для значения =200.
,
.
Этап II. Безусловная оптимизация.
Находим безусловные оптимальные управления, используя уравнения состояний , :
.
.
Ответ. Оптимальные
вложения:
,
,
,
.
Максимальный суммарный доход
.
Следует отметить, что таблицу 1-го шага достаточно было заполнить для начального состояния =200 млн руб. Полная таблица шага 1 дает решение не одной задачи, а множества задач с любыми значениями от 40 до 200. При увеличении начальных средств до 240 необходимо в каждой k-й таблице добавить еще одну строку, соответствующую начальному состоянию =240.
Задача 2. Решим задачу распределения ресурсов по следующим данным:
1)
=40
млн руб.;
2) n=3;
3) средства выделяются только в размерах, кратных 10 млн руб.;
4) функции дохода заданы в таблице:
х |
|
|
|
10 |
4 |
3 |
4 |
20 |
5 |
3 |
4 |
30 |
7 |
4 |
5 |
40 |
8 |
6 |
6 |
Решение.
Этап I. Условная оптимизация.
Расчеты начнем с последнего шага k=3. Таблица этого шага имеет вид
|
|
|
|
|
|
10 |
0 10 |
10 0 |
0 4 |
4 |
10 |
20 |
0 10 20 |
20 10 0 |
0 4 4 |
4 4 |
10 20 |
30 |
0 10 20 30 |
30 20 10 0 |
0 4 4 5 |
5 |
30 |
40 |
0 10 20 30 40 |
40 30 20 10 0 |
0 4 4 5 6 |
6 |
40 |
Таблица второго шага
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0 10 |
10 0 |
0 3 |
4 0 |
0+4=4 3+0=3 |
4 |
0 |
20 |
0 10 20 |
20 10 0 |
0 3 3 |
4 4 0 |
0+4=4 3+4=7 3+0=3 |
7 |
10 |
30 |
0 10 20 30 |
30 20 10 0 |
0 3 3 4 |
5 4 4 0 |
0+5=5 3+4=7 3+4=7 4+0=4 |
7 7 |
10 20 |
40 |
0 10 20 30 40 |
40 30 20 10 0 |
0 3 3 4 6 |
6 5 4 4 0 |
0+6=6 3+5=8 3+4=7 4+4=8 6+0=6 |
8
8
|
10
30
|
Таблица первого шага
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0 10 |
10 0 |
0 4 |
4 0 |
0+4=4 4+0=4 |
4 4 |
0 10 |
20 |
0 10 20 |
20 10 0 |
0 4 5 |
7 4 0 |
0+7=7 4+4=8 5+0=5 |
8 |
10 |
30 |
0 10 20 30 |
30 20 10 0 |
0 4 5 7 |
7 7 4 0 |
0+7=7 4+7=11 5+4=9 7+0=7 |
11
|
10
|
40 |
0 10 20 30 40 |
40 30 20 10 0 |
0 4 5 7 8 |
8 7 7 4 0 |
0+8=8 4+7=11 5+7=12 7+4=11 8+0=8 |
12
|
20 |
Поясним построение таблиц и последовательность проведения расчетов. Столбцы (1), (2) и (3) для всех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец (4) заполняется на основе исходных данных задачи о функциях дохода, значения в столбце (5) берутся из столбца (7) предыдущей таблицы, столбец (6) заполняется суммой значений столбцов (4) и (5) (в таблице третьего шага столбцы (5) и (6) отсутствуют). В (7) столбце записываются максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния и в (8) столбце записывается управление из (2) столбца, на котором достигается максимум (7).
Этап II. Безусловная оптимизация.
Из таблицы первого
шага имеем
,
т.е максимальный доход всей системы при
начальном количестве средств
равен 12 единицам. Из этой же таблицы
получаем, что первому предприятию
следует выделить
млн руб. и остаток средств
составит 20 млн руб. Далее из таблицы
второго шага для начального состояния
находим
(средства, выделяемые второму предприятию)
и остаток средств
.
В таблице третьего шага для начального
состояния
получаем
.
Итак, максимальный доход в количестве 12 единиц будет получен, если первому предприятию выделить 20 млн руб., второму предприятию выделить 10 млн руб., третьему предприятию выделить 10 млн руб.
Следует заметить,
что таблицу первого шага достаточно
было заполнить для начального состояния
млн.руб. Полная таблица первого шага
дает решения не одной задачи, а множества
задач с любыми значениями
от 10 до 40. Так, если начальная сумма
млн руб., то, проводя безусловную
оптимизацию по трем таблицам, получим
оптимальное распределение
.
При увеличении начальных средств до 50
необходимо в каждой к-й
таблице добавить еще одну секцию,
соответствующую начальному состоянию
.