Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Теория принятия решений

Сборник заданий

для практических занятий

Омск 2006

Составители: А.В. Зыкина, О.Н. Канева

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Для студентов специальности 230102 и направления 230100

Печатается по решению редакционно-издательского совета ОмГТУ

Учебно-методическое пособие предназначено для обеспечения заданиями практических занятий по дисциплине «Теория принятия решений». Кроме того, это пособие можно использовать в качестве установочного материала студентам, использующим дистанционные технологии обучения. В сборнике кроме заданий по темам соответствующих занятий приведены краткие теоретические результаты, рекомендации к их освоению и примеры решения типовых задач.

Первый раздел – элементы теории игр. Здесь рассмотрены основные понятия теории, более подробно излагается матричная игра, кроме того, для решения матричной игры необходимо знание симплекс-метода (для повторения симплекс-метода можно обратиться к методичке [4]).

Второй раздел посвящен задаче о назначениях: приводится математическая модель, вводятся необходимые для решения задачи понятия, излагается алгоритм венгерского метода для решения задачи.

В третьем разделе изложена задача о коммивояжере: приводится математическая модель, вводятся необходимые для решения задачи понятия, приводится алгоритм метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.

Четвертый раздел содержит классический подход к решению непрерывной задачи динамического программирования. Рассматриваются две содержательные задачи динамического программирования: задача о распределении ресурсов и задача о замене оборудования.

1. Элементы теории игр

1.1 Основные понятия

Теория игр – это особый раздел исследования операций, в котором изучаются математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Под конфликтом обычно понимают любое явление, применительно к которому имеет смысл говорить, кто и как в этом явлении участвует, каковы его возможные исходы, кто в этих исходах заинтересован и в чем состоит эта заинтересованность. Важно отметить, что приведенная формулировка весьма универсальна и охватывает не только конфликты между участниками так называемых салонных игр (шахматы, шашки, карточные игры и т.д.), но и экономические столкновения интересов различных фирм в условиях конкуренции, а также военные конфликты.

В зависимости от числа сторон, участвующих в конфликте, различают игры многих лиц и игры двух лиц (парные игры). Мы будем рассматривать только парные игры. Конфликтующие стороны назовем игроками и обозначим их цифрами I и II (это могут быть и команды).

Игра состоит из последовательности ходов. Стратегией игрока называют систему правил, определяющих его выбор варианта действия при каждом ходе. В большинстве игр игрок принимает решение о своем очередном ходе перед самым этим ходом или на несколько ходов вперед. Иначе и не может быть, поскольку в таких играх, как шахматы, число возможных ходов в большинстве позиций очень велико, и это не дает возможности игрокам заранее спланировать все свои действия от начала до конца. Однако с теоретической точки зрения ничто не мешает нам предполагать, что уже до начала игры каждый игрок решил, как он будет играть в любой позиции. Таким образом, мы предполагаем, что каждый игрок выбирает стратегию еще до начала игры.

Множества стратегий игроков I и II будем обозначать буквами X и Y соответственно. Пусть игрок I выбрал стратегию , а игрок II – стратегию . Комбинация этих стратегий (x,y) называется ситуацией. Некоторые комбинации стратегий могут оказаться несовместимыми, и в этом случае говорят о невозможной ситуации.

Пример 1.1. Игра «Крестики-нолики».

Имеется поле размером 3 3, клетки поля пронумерованы числами 1,…,9. Игрок I делает ход первым, ставя крестик в одну из свободных клеток. Игрок II играет ноликами. Максимальное число ходов в одной партии – 9 (5 ходов игрока I и 4 хода игрока II). Таким образом, любую стратегию x игрока I можно закодировать набором , где , , – номер клетки, занятой крестиком при i-м ходе. Аналогично любая стратегия y игрока II есть набор .

Пусть x =53489, y =1762. Тогда ситуация (x,y) определяет ничейный исход (показано на рис. 1,a). Если же x =53489, а y =1742, то ситуация (x,y) невозможна: игрок II не может своим третьим ходом поставить нолик в клетку 4, так как она уже занята крестиком (рис 1,б).

а)

б)

Рис. 1

По количеству возможных стратегий игроков игры делятся на конечные и бесконечные.

Заинтересованность игроков в исходах игры проявляется в том, что каждый из них предпочитает одни ситуации другим. Чаще всего отношение предпочтения задается с помощью функций выигрыша, определенных на множестве ситуаций. Обозначим через (x,y) – выигрыш игрока I в ситуации (x,y). Таким образом, (x,y) – это тот выигрыш (количество очков, сумма денег и т. д.), на который может рассчитывать игрок I, если он выберет стратегию , а его соперник – стратегию . Аналогично определяется функция выигрыша (x,y) игрока II.

Далее мы будем рассматривать игры с нулевой суммой, когда (x,y)+ (x,y)=0, то есть (x,y) =- (x,y) для любых и . В таких играх выигрыш одного игрока одновременно является проигрышем другого, и мы можем рассматривать его как платеж проигравшего победителю.