1. Методы описания систем: качественные и количественные. Теория множеств. Соответствия и отношения как аппарат описания связей.(типис)

Общие определения.

Упорядоченные множества - это множество в котором задан порядок элементов. Называются также кортежами или очередями.

Обозначение : A=áa,b,cñ - задано упорядоченное множество А, состоящее из трех элементов, расположенных в порядке сначала a, потом b, потом c.

Скобки “á“ и “ñ“ показывают, что множество упорядоченно.

Упорядоченное множество используется для описания объекта, в котором важен порядок элементов: обрабатываемые партии деталей, инструменты в инструментальном магазине станка, детали в накопителе станка.

Если нет дополнительных требований, то под словом “множество” подразумевается не упорядоченное множество. На упорядоченность множества всегда необходимо указывать.

Упорядоченные и неупорядоченные множества взаимосвязаны. Существуют операции, в которых участвуют два данных типа множеств.

Прямое произведение множеств: C=A´B;

Результатом прямого произведения множеств А и В является множество С, элементами которого являются картежи образованные всеми возможными сочетаниями элементов множеств А и В. Порядок расположения элементов в картежах соответствует порядку множеств в прямом произведении.

Например, если А={a,b}, B={x,y,z}, то C=A´B={áa,xñ,áa,yñ,áa,zñ,áb,xñ,áb,yñ,áb,zñ}

Прямое произведение распространяется на n множеств. Результатом прямого произведения n множеств является множество, состоящее из картежей длиной n. Из понятия прямого произведения следует понятие степени множества. Это произведения множества само на себя.

Для множества являющегося подмножеством результата прямого произведения множеств существует понятие ПРОЕКЦИИ. Результатом проекции множества, являющегося результатом прямого произведения на заданные множества будет множество, элементы которого образованы из элементов множества С удалением из них тех элементов кортежей, которые не входят в множества, на которые производится проекция.

СООТВЕТСТВИЯ

Соответствие показывают связь элементов различных множеств.

Соответствием Q между элементами множеств А и В является подмножество их прямого произведения, QÌA´B. Таким образом соответствие включает множество пар элементов множеств А и В отображающих наличие между ними какой-либо связи. Соответствие всегда направлено. Соответствие между множествами А и В это не тоже самое что соответствие между В и А.

В математическом моделировании соответствия используются для отображения связей элементов различных объектов.

Примеры соответствий: между множеством станков участка и режущим инструментом, отображающее возможность установки инструмента на станке.

Для задания соответствия необходимо: 1) Задать множество, для элементов которого строится соответствие или область отправления; 2) Задать множество, элементы которого ставятся в соответствие к элементам в области отправления или задать область прибытия; 3) Установить закон, по которому устанавливаются соответствия.

Элементы области отправления, для которых соответствие установлено, называется областью определения соответствия. Элементы области прибытия, поставленные в соответствие элементам области отправления, называются областью значений или множеством значений.

Рис.3.1. Элементы соответствия.

Методы задания соответствия

1. Графический.

При графическом методе области отправления и прибытия изображаются в виде овалов или прямоугольников, их элементы изображаются в виде точек внутри соответствующих областей. Соответствия между элементами - стрелками. Пример задания соответствий изображен на предшествующем рисунке.

2. Перечислением.

При использовании данного метода соответствие задается в виде упорядоченных пар - “двоек”, содержащих элементы областей отправления и прибытия, между которыми есть соответствия. Для рассмотренного на рисунке примера задание соответствия будет выглядеть следующим образом:

Q = {áa,yñ,áb,xñ,áb,zñ}

3. Таблично.

В табличном методе задается таблица, строкам, которой соответствуют элементы области отправления, столбцам, элементы области прибытия. Наличие соответствия между элементами отображается с помощью точки или другого знака в элементе таблице на пересечении строки и столбца, связанных с соответствующими элементами областей отправления и прибытия.

	x	y	z	f
a		1
b	1		1
c
d

Рис.3.2. Табличное задание соответствия.

4. Сечениями.

Сечением соответствия Q по элементу области отправления x является множество элементов в области прибытия поставленных в соответствие элементу x.

Q(a)={y}, Q(b)={x,z}, Q( c )=Æ, Q(d)=Æ.

Проекцией соответствия на область отправления является его область определения.

Типы соответствий.

Отображение. Это соответствие у которого область отправления совпадает с областью определения, то есть данное соответствие задано на всей области отправления.

Функциональный. Это соответствие у которого каждому элементу области отправления соответствует не более одного элемента области прибытия.

Взаимнооднозначный. Соответствие которое само является функциональным и обратное ему тоже.

Соответствие Q-1 является обратным соответствию Q, если область отправления Q-1 совпадает с областью прибытия Q, а область прибытия Q-1 совпадает с областью отправления Q. Кроме того пары элементов, между которыми существуют соответствия также совпадают, но меняется их направление.

Отношение. Соответствие у которого область отправления совпадает с областью прибытия, то есть данное соответствие задано само на себе.

Типы отношений.

Унарные. Определяют отношение элемента самим собой.

Бинарные. Определяют отношение между двумя элементами множества.

Тетраэдные. Это отношение между тремя элементами.

Классификация отношений по виду связываемых ими характеристик.

Отношение упорядоченности. Показывает на порядок связываемых ими объектов. Отношение упорядоченности могут возникать между объектами для которых имеет смысл порядок, то есть можно сказать, что какой-либо объект находится впереди или после другого.

Отношение иерархичности. Показывает подчиненность одних объектов к другим.

Отношение соседства. Показывает связь соединения объектов между собой . Данное отношение не направлено в отличии от предыдущих.

Отношение следования. Рассматривается как частный случай отношения упорядоченности.

В общем случае отношения показывают связь каких-либо характеристик (свойств) объектов.