Перечень типовых задач по теме «Построение сечений многогранников»

Предварительно необходимо:

• изучить теоретические сведения по темам «Полные и неполные изображения. Позиционные задачи» и «Построение сечений многогранников»;

• ответить на контрольные вопросы и выполнить следующие задания: [4], занятие 6, №№ II.13 − II.22; занятие 7, №№ 2.1 − 2.7.

Задачи для решения на практическом занятии: [4], занятие 7, №№ 4.2. − 4.4, 5.1, 5.2, 6.3, 4.6.

Задачи для самостоятельного решения: [4], занятие 7, №№ 4.1, 4.5, 5.5, 6.1, 6.2, 6.4, 6.6.

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Глазовского государственного педагогического института

им. В.Г. Короленко

МАТЕРИАЛЫ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ГЕОМЕТРИИ

Направление 050100 Педагогическое образование

Профиль Математика и Информатика

2 Курс, 4 семестр

Составитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Л.Т. Крежевских

Глазов 2012

Геометрия

IV семестр

Модуль 1: Проективная геометрия.

Модуль 2: Основания геометрии.

Практические занятия

№ практического занятия	Тема практического занятия
Практическое занятие №1	Расширенное евклидово пространство.
Практическое занятие №2	Проективные координаты. Уравнение проективной прямой.
Практические занятия №3, 4	Теорема Дезарга. Приложение к решению задач.
Практическое занятие №5	Сложное отношение четырёх точек прямой и четырёх прямых пучка. Гомология.
Контрольная работа №1 (2 часа)
Практические занятия №6, 7	Гармонизм. Полный четырёхвершинник. Приложение свойств полного четырёхвершинника к решению задач.
Практическое занятие №8	Полюс и поляра. Поляритет и его свойства.
Практическое занятие №9	Теоремы Паскаля и Брианшона. Приложение к решению задач.
Контрольная работа №2 (2 часа)
Практическое занятие №10	Система аксиом Гильберта.
Практические занятия №11, 12	Параллельные и расходящиеся прямые на плоскости Лобачевского. Треугольники и четырёхугольники на плоскости Лобачевского. Окружность. Орицикл. Эквидистанта.
Практическое занятие №13	Понятие об интерпретации системы аксиом. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Практические занятия №14, 15	Система аксиом Вейля трёхмерного евклидова пространства.
Контрольная работа №3 (2 часа)

Перечень типовых задач по теме «Расширенное евклидово пространство»

Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по темам «Понятие проективного репера на проективной плоскости и на проективной прямой», «Понятие расширенного пространства».

1. Сколько несобственных точек существует на расширенной прямой?

2. Сколько расширенных прямых существует на расширенной плоскости? Сколько несобственных прямых существует на расширенной плоскости?

3. Сколько несобственных прямых существует на несобственной плоскости? А расширенных?

4. Есть ли на несобственной прямой собственные точки?

5. Задайте на расширенной плоскости собственную точку; несобственную точку.

6. Задайте на расширенной плоскости две различные несобственные точки.

7. Начертите расширенную прямую . Найдите точку пересечения этой прямой с несобственной прямой .

8. Дана расширенная прямая , − несобственная точка этой прямой, точка М не принадлежит . Проведите прямую через точки и М.

9. Задайте на расширенной плоскости две различные несобственные точки и и проведите через них прямую.

10. На расширенной плоскости даны три различные расширенные прямые , и . Прямые и имеют общую собственную точку, и − общую несобственную точку. Будут ли прямые и иметь общую точку? Если да, то какую: собственную или несобственную?

11. Какое множество точек расширенного пространства является пересечением: а) двух различных расширенных плоскостей; б) расширенной и несобственной плоскостей?

12. Существует ли на расширенной плоскости треугольник с одной несобственной вершиной? Если нет, то почему? Если да, то начертите его.

13. Существует ли на расширенной плоскости треугольник с двумя несобственными вершинами? Если нет, то почему? Если да, то начертите его.

14. Существует ли на расширенной плоскости треугольник с тремя несобственными вершинами? Если нет, то почему? Если да, то начертите его.

15. Какие частные случаи проективного репера на расширенной плоскости возможны? Изобразите эти реперы.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) е) .