Перечень типовых задач по теме «Плоскости в пространстве»
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 20 − 24 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»: занятие 12, №№ I.1 – I.14;
● ознакомиться с решениями задач II.1, II.2, II.4 (занятие 12).
1. Аффинные задачи
(решаются
в аффинной системе координат О
)
1. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и содержащей ось Оу.
2. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точки
и
параллельно
оси Оz.
3. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и параллельной плоскости
.
4. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
параллельно координатной плоскости
Охz.
5. Даны вершины
тетраэдра
,
,
,
.
Найти:
а) уравнение плоскости , содержащей ребро ВС и параллельной ребру AD;
б)
уравнение плоскости
,
проходящей через вершину D
и параллельной грани АВС.
6. Выяснить взаимное расположение трех плоскостей:
-
а)
;б)
;
;
;
;
.
2. Метрические задачи
(решаются
в прямоугольной декартовой системе
координат О
)
7. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и перпендикулярной плоскостям
и
.
8. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
и перпендикулярной оси Оу.
9. Найти уравнение
плоскости
,
проходящей через точки
и
и перпендикулярной плоскости
.
10. Найти длину
высоты тетраэдра ABCD,
проведенной из вершины D,
если
,
,
,
(не пользуясь смешанным и векторным
произведениями векторов).
11. Найти величину
угла между гранями ACD
и ABD
тетраэдра ABCD,
если
,
,
,
.
12. Выяснить, будут
ли плоскости
и
взаимно перпендикулярными:
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.
Перечень типовых задач по теме «Прямые в пространстве»
Предварительно необходимо:
● изучить §§ 25, 26 (п. 1), 27 (п. 1) по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;
● ответить на контрольные вопросы и выполнить в тетрадях для практических занятий все контрольные задания из пункта I занятия 13 (см. методическое пособие «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»);
● ознакомиться с решениями всех задач из пункта II занятия 13.
1. Аффинные задачи
(решаются в аффинной системе координат О )
13. Найти:
а)
канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через две точки
и
;
б)
канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
;
в)
уравнения прямой, образованной
пересечением плоскостей
и
;
плоскости
и координатной плоскости Oxz.
14. Найти координаты
направляющего вектора прямой
15. Найти канонические
уравнения прямой
,
проходящей через точку
и параллельной прямой
16. Найти параметрические уравнения прямых:
а)
б)
17. Найти канонические
и параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку
и параллельной оси Ох.
18. Определить взаимное расположение следующих пар прямых в пространстве:
а)
и
;
б)
и
в)
и
