Перечень типовых задач по теме «Полюс и поляра. Поляритет и его свойства»

Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по темам «Проективная классификация линий второго порядка», «Полюс и поляра. Поляритет и его свойства».

67. Полный четырёхвершинник ABCD вписан в овальную линию второго порядка. Доказать, что каждая его диагональная прямая является полярой противоположной диагональной точки.

68. Построить поляру данной точки М относительно данной овальной линии γ, если М лежит внутри γ. Решить задачу тремя способами.

69. Из точки М провести касательные к овальной линии γ с помощью одной линейки. Выполнить анализ, построение, доказательство, исследование.

70. Построить полюс данной прямой m относительно данной окружности γ, если: а) m не имеет общих точек с γ, т.е. ; б) m касается γ в точке А; в) m пересекает γ в двух точках.

71. Построить поляру данной точки М относительно данной овальной линии γ, если М принадлежит γ. Выполнить анализ, построение и доказательство.

72. Построить с помощью одной линейки касательную к окружности γ в точке М, лежащей на окружности. Выполнить анализ, построение и доказательство.

73. Найти уравнение поляры точки А относительно линии второго порядка γ, если:

а) А(1; 2; 1), ;

б) А(1; 0; 1), ;

в) А(4; −2; 3), .

74. Найти координаты полюса прямой р относительно линии γ, если:

а) ;

б) . Решение обосновать.

75. Прямая d не имеет общих точек с окружностью γ. Прямая, соединяющая точки касания двух касательных, проведённых из точки к окружности γ, пересекает прямую d в точке В. Доказать, что прямая, соединяющая точки касания касательных, проведённых из точки В к окружности γ, проходит через точку А.

76. Прямая d не имеет общих точек с окружностью γ. Доказать, что прямые, соединяющие точки касания касательных к окружности γ, проведённых из каждой точки , проходят через одну и ту же точку.

77. На расширенной плоскости дана окружность γ. Построить а) поляру данной несобственной точки ; б) полюс несобственной прямой .

Перечень типовых задач по теме «Теоремы Паскаля и Брианшона. Приложение к решению задач»

Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по темам «Теоремы Паскаля и Брианшона», «Задачи на построение, связанные с овальной линией второго порядка».

78. Даны пять точек А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ овальной линии второго порядка. Построить а) вторую точку пересечения этой кривой с прямой а, проходящей через точку А₂; б) ещё две точки данной кривой; в) касательную к данной кривой в точке А₃. В каждом случае выполнить анализ, построение и доказательство.

79. Овальная линия второго порядка задана четырьмя точками А₁, А₂, А₃, А₄ общего положения и касательной а в точке А₂. Построить: а) касательную к этой кривой в точке А₄; б) ещё одну точку этой кривой. Выполнить анализ, построение и доказательство.

80. Овальная линия второго порядка задана тремя точками, не лежащими на одной прямой, и касательными в двух из них. Построить: а) касательную к данной кривой в третьей точке; б) ещё одну точку данной кривой. Выполнить анализ, построение и доказательство.

81. Даны пять касательных a, b, c, d и e к овальной линии второго порядка. Построить точку касания прямой е с данной кривой.

82. На евклидовой плоскости дан пятиугольник ABCDE, вписанный в окружность; . Доказать, что касательная t в точке В и прямая (ED) пересекаются на прямой (LM).

83. На евклидовой плоскости дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность; . Доказать, что касательные в точках В и D, а также в точках А и С пересекаются на прямой (LM).

84. На окружности γ взяты три точки M, P и Q, m, p и q − касательные к γ в точках M, P и Q соответственно. Доказать, что точки пересечения прямых (МР) и q, (PQ) и m, (QM) и p лежат на одной прямой.

85. Дан пятиугольник ABCDE, описанный около окружности. Сторона АЕ касается окружности в точке F. Доказать, что отрезок СF проходит через точку пересечения отрезков АD и ВЕ.

86. Дан четырёхугольник ABCD, описанный около окружности. Стороны АD и ВС касаются окружности в точках М и К. Доказать, что точка пересечения диагоналей АС и ВD лежит на прямой (МК).