Перечень типовых задач по теме «Сложное отношение четырёх точек прямой и четырёх прямых пучка. Гомология»
Предварительно необходимо изучить теоретический материал по темам «Сложное отношение четырёх точек прямой и четырёх прямых пучка», «Проективные преобразования плоскости», «Группа проективных преобразований плоскости».
На проективной прямой даны точки A, B и C. Построить такую точку D, чтобы (AB, CD) = 3.
На проективной прямой даны точки M, K и P. Построить такую точку Q, чтобы: а) (MK, PQ) = 2; б) (MK, PQ) =
.Вычислить (QM, PN), если (MN, PQ) = .
Вычислить (DB, CA), если (AB, CD) = −2.
Найти
,
если М1(0;
1), М2(3;
−2), М3(5;
0), М4(1;
−1).Найти (AC, BD), если A(1; 1), B(3; 1), C(0; 1), D(2; −3).
На плоскости даны три прямые a, b и c пучка. Построить такую прямую d, чтобы
.На плоскости даны три прямые a, b и c пучка. Построить такую прямую x, чтобы
.Построить образ и прообраз точки К в гиперболической гомологии f, заданной осью d0, центром Р0 и парой соответственных точек
,
если
и
(точки Х
и В
лежат по одну сторону от прямой d0).Построить образ и прообраз точки С в параболической гомологии f, заданной осью d0, центром Р0 и парой соответственных точек
.Гомология f на расширенной плоскости задана осью d0, центром
и парой соответственных точек
.
Построить образ точки Z,
если гомология f
а) гиперболическая; б) параболическая.Построить образ точки Х в гомологии, заданной на расширенной плоскости осью , центром Р0 и парой соответственных точек
.Гомология на расширенной плоскости задана осью , центром и парой соответственных точек . Построить образ точки Х.
Решить задачи № 38 и 39 с помощью гомологии.
Перечень типовых задач по теме «Гармонизм. Полный четырёхвершинник. Приложение свойств полного четырёхвершинника к решению задач»
Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по теме «Гармонизм. Полный четырёхвершинник и его свойства».
На евклидовой прямой отмечены три различные точки A, B и C так, что точка С лежит между точками А и В. Построить точку Х, четвёртую гармоническую к точкам A, B и C. Построение обосновать.
На евклидовой плоскости даны три попарно параллельные прямые a, b и c. Построить такую прямую х, чтобы (аb, cx) = − 1. Построение обосновать.
Даны три прямые a, b, c пучка. Построить четвёртую гармоническую прямую d. Построение обосновать.
На евклидовой плоскости дан параллелограмм ABCD. Найти диагональные точки и диагонали полного четырёхвершинника ABCD на расширенной плоскости. Сделать чертёж.
На евклидовой плоскости дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Найти диагональные точки и диагонали полного четырёхвершинника ABCD на расширенной плоскости. Сделать чертёж.
Вершинами полного четырёхвершинника являются несобственные точки осей координат и точки А(1; 0) и В(0; 1). Найти его диагональные точки и диагонали. Сделать чертёж.
На евклидовой плоскости дана трапеция, Р − точка пересечения её диагоналей, Q − точка пересечения продолжений боковых сторон. Доказать, что пара точек пересечения прямой (PQ) с основаниями трапеции гармонически разделяется точками P и Q. Решить задачу двумя способами.
На евклидовой плоскости дан отрезок [AB] с отмеченной серединой С и точка М, не лежащая на прямой (АВ). С помощью одной линейки провести через точку М прямую, параллельную (АВ). Выполнить анализ, построение и доказательство.
На евклидовой плоскости дан параллелограмм ABCD. Пользуясь одной линейкой, провести через вершину А прямую, параллельную диагонали BD. Выполнить анализ, построение и доказательство.
На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a и b и на одной из них отрезок [AB]. Пользуясь одной линейкой, разделить отрезок [AB] пополам. Выполнить анализ, построение и доказательство.
На евклидовой плоскости дан треугольник ABС и его средняя линия С1А1. С помощью одной линейки построить две другие его средние линии. Выполнить анализ, построение и доказательство.
На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые и отрезок [AB] на одной из них. С помощью одной линейки удвоить отрезок [AB]. Выполнить анализ, построение и доказательство.